Calcolo Esempi

$\int \cos (3 y) - 2 x d x \int \sin (2 x) + 2 yd y d x$

Passaggio 1

Calcola $\int \cos (3 y) - 2 x d x$ .

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Passaggio 1.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$(\int \cos (3 y) d x + \int - 2 x d x) \int \sin (2 x) + 2 yd y d x$

Passaggio 1.2

Applica la regola costante.

$(\cos (3 y) x + C + \int - 2 x d x) \int \sin (2 x) + 2 yd y d x$

Passaggio 1.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$(\cos (3 y) x + C - 2 \int x d x) \int \sin (2 x) + 2 yd y d x$

Passaggio 1.4

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$(\cos (3 y) x + C - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)) \int \sin (2 x) + 2 yd y d x$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Semplifica.

$(\cos (3 y) x - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C) \int \sin (2 x) + 2 yd y d x$

Passaggio 1.5.2

Semplifica.

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Passaggio 1.5.2.1

$- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$(\cos (3 y) x + \frac{- 2}{2} x^{2} + C) \int \sin (2 x) + 2 yd y d x$

Passaggio 1.5.2.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

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Passaggio 1.5.2.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$(\cos (3 y) x + \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C) \int \sin (2 x) + 2 yd y d x$

Passaggio 1.5.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.5.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$(\cos (3 y) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C) \int \sin (2 x) + 2 yd y d x$

Passaggio 1.5.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$(\cos (3 y) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C) \int \sin (2 x) + 2 yd y d x$

Passaggio 1.5.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$(\cos (3 y) x + \frac{- 1}{1} x^{2} + C) \int \sin (2 x) + 2 yd y d x$

Passaggio 1.5.2.2.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$(\cos (3 y) x - x^{2} + C) \int \sin (2 x) + 2 yd y d x$

Passaggio 2

Calcola $\int \sin (2 x) + 2 yd y d x$ .

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Passaggio 2.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$(\cos (3 y) x - x^{2} + C) (\int \sin (2 x) d x + \int 2 yd y d x)$

Passaggio 2.2

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.2.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.2.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 2.2.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$(\cos (3 y) x - x^{2} + C) (\int \sin (u) \frac{1}{2} d u + \int 2 yd y d x)$

Passaggio 2.3

$\sin (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$(\cos (3 y) x - x^{2} + C) (\int \frac{\sin (u)}{2} d u + \int 2 yd y d x)$

Passaggio 2.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$(\cos (3 y) x - x^{2} + C) (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u + \int 2 yd y d x)$

Passaggio 2.5

L'integrale di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $- \cos (u)$ .

$(\cos (3 y) x - x^{2} + C) (\frac{1}{2} (- \cos (u) + C) + \int 2 yd y d x)$

Passaggio 2.6

Applica la regola costante.

$(\cos (3 y) x - x^{2} + C) (\frac{1}{2} (- \cos (u) + C) + 2 yd y x + C)$

Passaggio 2.7

Semplifica.

$(\cos (3 y) x - x^{2} + C) (- \frac{\cos (u)}{2} + 2 yd y x + C)$

Passaggio 2.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$(\cos (3 y) x - x^{2} + C) (- \frac{\cos (2 x)}{2} + 2 yd y x + C)$

Passaggio 2.9

Riordina i termini.

$(\cos (3 y) x - x^{2} + C) (- \frac{1}{2} \cos (2 x) + 2 yd y x + C)$

Passaggio 3

Semplifica.

$(\cos (3 y) x - x^{2}) (- \frac{1}{2} \cos (2 x) + 2 yd y x) + C$