Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}$ come un'equazione.

$y = \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{y}{2}) + \frac{1}{2}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{y}{2}) + \frac{1}{2} = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{y}{2}) + \frac{1}{2} = x$

Passaggio 3.2

$\frac{1}{2}$ e $\sin (\frac{y}{2})$ .

$\frac{\sin (\frac{y}{2})}{2} + \frac{1}{2} = x$

Passaggio 3.3

Sottrai $\frac{1}{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{\sin (\frac{y}{2})}{2} = x - \frac{1}{2}$

Passaggio 3.4

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{\sin (\frac{y}{2})}{2} = 2 (x - \frac{1}{2})$

Passaggio 3.5

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{\sin (\frac{y}{2})}{2} = 2 (x - \frac{1}{2})$

Passaggio 3.5.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (\frac{y}{2}) = 2 (x - \frac{1}{2})$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Semplifica $2 (x - \frac{1}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sin (\frac{y}{2}) = 2 x + 2 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 3.5.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$\sin (\frac{y}{2}) = 2 x + 2 (\frac{- 1}{2})$

Passaggio 3.5.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\sin (\frac{y}{2}) = 2 x + 2 (\frac{- 1}{2})$

Passaggio 3.5.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\sin (\frac{y}{2}) = 2 x - 1$

Passaggio 3.6

Trova il valore dell'incognita $y$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$\frac{y}{2} = \arcsin (2 x - 1)$

Passaggio 3.7

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 \arcsin (2 x - 1)$

Passaggio 3.8

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y}{2} = 2 \arcsin (2 x - 1)$

Passaggio 3.8.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = 2 \arcsin (2 x - 1)$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = 2 \arcsin (2 x - 1)$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = 2 \arcsin (2 x - 1)$ è l'inverso di $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}) = 2 \arcsin (2 (\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}) - 1)$

Passaggio 5.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

$\frac{1}{2}$ e $\sin (\frac{x}{2})$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}) = 2 \arcsin (2 (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} + \frac{1}{2}) - 1)$

Passaggio 5.2.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}) = 2 \arcsin (2 (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Passaggio 5.2.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}) = 2 \arcsin (2 (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Passaggio 5.2.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}) = 2 \arcsin (\sin (\frac{x}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Passaggio 5.2.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}) = 2 \arcsin (\sin (\frac{x}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Passaggio 5.2.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}) = 2 \arcsin (\sin (\frac{x}{2}) + 1 - 1)$

Passaggio 5.2.4

Combina i termini opposti in $\sin (\frac{x}{2}) + 1 - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}) = 2 \arcsin (\sin (\frac{x}{2}) + 0)$

Passaggio 5.2.4.2

Somma $\sin (\frac{x}{2})$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}) = 2 \arcsin (\sin (\frac{x}{2}))$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (2 \arcsin (2 x - 1))$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (2 \arcsin (2 x - 1)) = \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{2 \arcsin (2 x - 1)}{2}) + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (2 \arcsin (2 x - 1)) = \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{2 \arcsin (2 x - 1)}{2}) + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Dividi $\arcsin (2 x - 1)$ per $1$ .

$f (2 \arcsin (2 x - 1)) = \frac{1}{2} \cdot \sin (\arcsin (2 x - 1)) + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.3.3.2

Le funzioni di seno e arcoseno sono inverse.

$f (2 \arcsin (2 x - 1)) = \frac{1}{2} \cdot (2 x - 1) + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.3.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (2 \arcsin (2 x - 1)) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.3.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.4.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$f (2 \arcsin (2 x - 1)) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x)) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.3.3.4.2

Elimina il fattore comune.

$f (2 \arcsin (2 x - 1)) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.3.3.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f (2 \arcsin (2 x - 1)) = x + \frac{1}{2} \cdot - 1 + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.3.3.5

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$f (2 \arcsin (2 x - 1)) = x + \frac{- 1}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.3.3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (2 \arcsin (2 x - 1)) = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.3.4

Combina i termini opposti in $x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Somma $- \frac{1}{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (2 \arcsin (2 x - 1)) = x + 0$

Passaggio 5.3.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f (2 \arcsin (2 x - 1)) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = 2 \arcsin (2 x - 1)$ è l'inverso di $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = 2 \arcsin (2 x - 1)$