Calcolo Esempi

$\int \sin (4 x) e^{\cos (4 x)} d x$

Passaggio 1

Sia $u_{2} = \cos (4 x)$ . Allora $d u_{2} = - 4 \sin (4 x) d x$ , quindi $- \frac{1}{4} d u_{2} = \sin (4 x) d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{2} = \cos (4 x)$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\cos (4 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 1.1.2.2

La derivata di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $4 x$ .

$- \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.3.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4 \sin (4 x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 \sin (4 x) \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.4

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$- 4 \sin (4 x)$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int e^{u_{2}} \frac{1}{- 4} d u_{2}$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int e^{u_{2}} (- \frac{1}{4}) d u_{2}$

Passaggio 2.2

$e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{4}$ .

$\int - \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 5

L'integrale di $e^{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

$- \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\cos (4 x)$ .

$- \frac{1}{4} e^{\cos (4 x)} + C$