Calcolo Esempi

$\int_{π}^{3 π} \cot^{2} (\frac{x}{6}) d x$

Passaggio 1

Sia $u = \frac{x}{6}$ . Allora $d u = \frac{1}{6} d x$ , quindi $6 d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = \frac{x}{6}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $\frac{x}{6}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{6}]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{6}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $\frac{1}{6}$ per $1$ .

$\frac{1}{6}$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = \frac{x}{6}$ .

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

Passaggio 1.3

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = \frac{x}{6}$ .

$u_{upper} = \frac{3 π}{6}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $3$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Scomponi $3$ da $3 π$ .

$u_{upper} = \frac{3 (π)}{6}$

Passaggio 1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$u_{upper} = \frac{3 π}{3 \cdot 2}$

Passaggio 1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = \frac{3 π}{3 \cdot 2}$

Passaggio 1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Passaggio 1.5

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Passaggio 1.6

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{6}} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{6}$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (u) (1 \cdot 6) d u$

Passaggio 2.2

Moltiplica $6$ per $1$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (u) \cdot 6 d u$

Passaggio 2.3

Sposta $6$ alla sinistra di $\cot^{2} (u)$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 6 \cot^{2} (u) d u$

Passaggio 3

Poiché $6$ è costante rispetto a $u$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$6 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (u) d u$

Passaggio 4

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\cot^{2} (u)$ come $- 1 + \csc^{2} (u)$ .

$6 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - 1 + \csc^{2} (u) d u$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$6 (\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - 1 d u + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} (u) d u)$

Passaggio 6

Applica la regola costante.

$6 (- u]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} (u) d u)$

Passaggio 7

Poiché la derivata di $- \cot (u)$ è $\csc^{2} (u)$ , l'integrale di $\csc^{2} (u)$ è $- \cot (u)$ .

$6 (- u]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + - \cot (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

Passaggio 8

$- u]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ e $- \cot (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ .

$6 (- u - \cot (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

Passaggio 9

Calcola $- u - \cot (u)$ per $\frac{π}{2}$ e per $\frac{π}{6}$ .

$6 (- \frac{π}{2} - \cot (\frac{π}{2}) - (- \frac{π}{6} - \cot (\frac{π}{6})))$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Il valore esatto di $\cot (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$6 (- \frac{π}{2} - 0 - (- \frac{π}{6} - \cot (\frac{π}{6})))$

Passaggio 10.2

Il valore esatto di $\cot (\frac{π}{6})$ è $\sqrt{3}$ .

$6 (- \frac{π}{2} - 0 - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

Passaggio 10.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$6 (- \frac{π}{2} + 0 - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

Passaggio 10.4

Somma $- \frac{π}{2}$ e $0$ .

$6 (- \frac{π}{2} - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

Passaggio 10.5

Per scrivere $- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$6 (- \frac{π}{2} - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot \frac{2}{2})$

Passaggio 10.6

$- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ e $\frac{2}{2}$ .

$6 (- \frac{π}{2} + \frac{- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot 2}{2})$

Passaggio 10.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$6 \frac{- π - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot 2}{2}$

Passaggio 10.8

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$6 \frac{- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 10.9

$6$ e $\frac{- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})}{2}$ .

$\frac{6 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{2}$

Passaggio 10.10

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.10.1

Scomponi $2$ da $6 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ .

$\frac{2 (3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2}$

Passaggio 10.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.10.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2 (1)}$

Passaggio 10.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2 \cdot 1}$

Passaggio 10.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{1}$

Passaggio 10.10.2.4

Dividi $3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ per $1$ .

$3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 (- π - 2 (- \frac{π}{6}) - 2 (- \sqrt{3}))$

Passaggio 11.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{π}{6}$ nel numeratore.

$3 (- π - 2 \frac{- π}{6} - 2 (- \sqrt{3}))$

Passaggio 11.2.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$3 (- π + 2 (- 1) \frac{- π}{6} - 2 (- \sqrt{3}))$

Passaggio 11.2.3

Scomponi $2$ da $6$ .

$3 (- π + 2 \cdot - 1 \frac{- π}{2 \cdot 3} - 2 (- \sqrt{3}))$

Passaggio 11.2.4

Elimina il fattore comune.

$3 (- π + 2 \cdot - 1 \frac{- π}{2 \cdot 3} - 2 (- \sqrt{3}))$

Passaggio 11.2.5

Riscrivi l'espressione.

$3 (- π - \frac{- π}{3} - 2 (- \sqrt{3}))$

Passaggio 11.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$3 (- π - \frac{- π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Passaggio 11.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 (- π - - \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Passaggio 11.5

Moltiplica $- - \frac{π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$3 (- π + 1 \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Passaggio 11.5.2

Moltiplica $\frac{π}{3}$ per $1$ .

$3 (- π + \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Passaggio 11.6

Per scrivere $- π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$3 (- π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Passaggio 11.7

$- π$ e $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{- π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Passaggio 11.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 (\frac{- π \cdot 3 + π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Passaggio 11.9

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$3 (\frac{- 3 π + π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Passaggio 11.10

Somma $- 3 π$ e $π$ .

$3 (\frac{- 2 π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Passaggio 11.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 (- \frac{2 π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Passaggio 11.12

Applica la proprietà distributiva.

$3 (- \frac{2 π}{3}) + 3 (2 \sqrt{3})$

Passaggio 11.13

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.13.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2 π}{3}$ nel numeratore.

$3 \frac{- 2 π}{3} + 3 (2 \sqrt{3})$

Passaggio 11.13.2

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{- 2 π}{3} + 3 (2 \sqrt{3})$

Passaggio 11.13.3

Riscrivi l'espressione.

$- 2 π + 3 (2 \sqrt{3})$

Passaggio 11.14

Moltiplica $2$ per $3$ .

$- 2 π + 6 \sqrt{3}$

Passaggio 12

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- 2 π + 6 \sqrt{3}$

Forma decimale:

$4.10911953 \dots$