Calcolo Esempi

$\int y {(y^{4} - 2 y^{3} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} d y$

Passaggio 1

Semplifica.

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Passaggio 1.1

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 1.1.1

Riscrivi $y^{4}$ come ${(y^{2})}^{2}$ .

$\int y {({(y^{2})}^{2} - 2 y^{3} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} d y$

Passaggio 1.1.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 y^{3} = 2 \cdot y^{2} \cdot y$

Passaggio 1.1.3

Riscrivi il polinomio.

$\int y {({(y^{2})}^{2} - 2 \cdot y^{2} \cdot y + y^{2})}^{\frac{1}{2}} d y$

Passaggio 1.1.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = y^{2}$ e $b = y$ .

$\int y {({(y^{2} - y)}^{2})}^{\frac{1}{2}} d y$

Passaggio 1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y {(y^{2} - y)}^{2 (\frac{1}{2})} d y$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\int y {(y^{2} - y)}^{2 (\frac{1}{2})} d y$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\int y {(y^{2} - y)}^{1} d y$

Passaggio 1.4

Semplifica.

$\int y (y^{2} - y) d y$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int y \cdot y^{2} + y (- y) d y$

Passaggio 2.2

Riordina $y$ e $- 1$ .

$\int y \cdot y^{2} - 1 \cdot y \cdot y d y$

Passaggio 2.3

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\int y^{1} y^{2} - 1 y \cdot y d y$

Passaggio 2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int y^{1 + 2} - 1 y \cdot y d y$

Passaggio 2.5

Somma $1$ e $2$ .

$\int y^{3} - 1 y \cdot y d y$

Passaggio 2.6

Metti in evidenza il valore negativo.

$\int y^{3} - (y \cdot y) d y$

Passaggio 2.7

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\int y^{3} - (y^{1} y) d y$

Passaggio 2.8

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\int y^{3} - (y^{1} y^{1}) d y$

Passaggio 2.9

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int y^{3} - y^{1 + 1} d y$

Passaggio 2.10

Somma $1$ e $1$ .

$\int y^{3} - y^{2} d y$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int y^{3} d y + \int - y^{2} d y$

Passaggio 4

Secondo la regola di potenza, l'intero di $y^{3}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C + \int - y^{2} d y$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} y^{4} + C - \int y^{2} d y$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C - (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C$