Calcolo Esempi

$\int_{1}^{8} (1 - x) e^{- x} d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = 1 - x$ e $d v = e^{- x}$ .

$(1 - x) (- e^{- x})]_{1}^{8} - \int_{1}^{8} - e^{- x} \cdot - 1 d x$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$(1 - x) (- e^{- x})]_{1}^{8} - \int_{1}^{8} 1 e^{- x} d x$

Passaggio 2.2

Moltiplica $e^{- x}$ per $1$ .

$(1 - x) (- e^{- x})]_{1}^{8} - \int_{1}^{8} e^{- x} d x$

Passaggio 3

Sia $u = - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 3.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 3.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = - x$ .

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

Passaggio 3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$u_{lower} = - 1$

Passaggio 3.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 8$

Passaggio 3.5

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$u_{upper} = - 8$

Passaggio 3.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - 8$

Passaggio 3.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$(1 - x) (- e^{- x})]_{1}^{8} - \int_{- 1}^{- 8} - e^{u} d u$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$(1 - x) (- e^{- x})]_{1}^{8} - - \int_{- 1}^{- 8} e^{u} d u$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$(1 - x) (- e^{- x})]_{1}^{8} + 1 \int_{- 1}^{- 8} e^{u} d u$

Passaggio 5.2

Moltiplica $\int_{- 1}^{- 8} e^{u} d u$ per $1$ .

$(1 - x) (- e^{- x})]_{1}^{8} + \int_{- 1}^{- 8} e^{u} d u$

Passaggio 6

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$(1 - x) (- e^{- x})]_{1}^{8} + e^{u}]_{- 1}^{- 8}$

Passaggio 7

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 7.1

Calcola $(1 - x) (- e^{- x})$ per $8$ e per $1$ .

$((1 - 1 \cdot 8) (- e^{- 1 \cdot 8})) - (1 - 1 \cdot 1) (- e^{- 1 \cdot 1}) + e^{u}]_{- 1}^{- 8}$

Passaggio 7.2

Calcola $e^{u}$ per $- 8$ e per $- 1$ .

$((1 - 1 \cdot 8) (- e^{- 1 \cdot 8})) - (1 - 1 \cdot 1) (- e^{- 1 \cdot 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

Passaggio 7.3

Semplifica.

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Passaggio 7.3.1

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$(1 - 8) (- e^{- 1 \cdot 8}) - (1 - 1 \cdot 1) (- e^{- 1 \cdot 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

Passaggio 7.3.2

Sottrai $8$ da $1$ .

$- 7 (- e^{- 1 \cdot 8}) - (1 - 1 \cdot 1) (- e^{- 1 \cdot 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

Passaggio 7.3.3

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$- 7 (- e^{- 8}) - (1 - 1 \cdot 1) (- e^{- 1 \cdot 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

Passaggio 7.3.4

Moltiplica $- 1$ per $- 7$ .

$7 e^{- 8} - (1 - 1 \cdot 1) (- e^{- 1 \cdot 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

Passaggio 7.3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$7 e^{- 8} - (1 - 1) (- e^{- 1 \cdot 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

Passaggio 7.3.6

Sottrai $1$ da $1$ .

$7 e^{- 8} - 0 (- e^{- 1 \cdot 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

Passaggio 7.3.7

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$7 e^{- 8} + 0 (- e^{- 1 \cdot 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

Passaggio 7.3.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$7 e^{- 8} + 0 (- e^{- 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

Passaggio 7.3.9

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$7 e^{- 8} + 0 e^{- 1} + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

Passaggio 7.3.10

Moltiplica $0$ per $e^{- 1}$ .

$7 e^{- 8} + 0 + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

Passaggio 7.3.11

Somma $7 e^{- 8}$ e $0$ .

$7 e^{- 8} + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

Passaggio 7.3.12

Somma $7 e^{- 8}$ e $e^{- 8}$ .

$8 e^{- 8} - e^{- 1}$

Passaggio 8

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 \frac{1}{e^{8}} - e^{- 1}$

Passaggio 8.2

$8$ e $\frac{1}{e^{8}}$ .

$\frac{8}{e^{8}} - e^{- 1}$

Passaggio 8.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{8}{e^{8}} - \frac{1}{e}$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{8}{e^{8}} - \frac{1}{e}$

Forma decimale:

$- 0.36519574 \dots$

Passaggio 10