Calcolo Esempi

$\int x^{3} \sqrt{1 + 25 x^{2}} d x$

Passaggio 1

Sia $x = \frac{1}{5} \tan (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\sec^{2} (t)}{5}$ è positivo.

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{1 + 25 {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{1 + 25 {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

$\frac{1}{5}$ e $\tan (t)$ .

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{1 + 25 {(\frac{\tan (t)}{5})}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

Passaggio 2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\tan (t)}{5}$ .

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{1 + 25 \frac{\tan^{2} (t)}{5^{2}}} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

Passaggio 2.1.1.3

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{1 + 25 \frac{\tan^{2} (t)}{25}} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

Passaggio 2.1.1.4

Elimina il fattore comune di $25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{1 + 25 \frac{\tan^{2} (t)}{25}} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

Passaggio 2.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{1 + \tan^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

Passaggio 2.1.2

Rimetti in ordine i termini.

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

Passaggio 2.1.3

Applica l'identità pitagorica.

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{\sec^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

Passaggio 2.1.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sec (t) \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

Passaggio 2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

$\frac{1}{5}$ e $\tan (t)$ .

$\int {(\frac{\tan (t)}{5})}^{3} \sec (t) \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

Passaggio 2.2.1.2

$\frac{\sec^{2} (t)}{5}$ e $\sec (t)$ .

$\int {(\frac{\tan (t)}{5})}^{3} \frac{\sec^{2} (t) \sec (t)}{5} d t$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica $\sec^{2} (t)$ per $\sec (t)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.1

Moltiplica $\sec^{2} (t)$ per $\sec (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.1.1

Eleva $\sec (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int {(\frac{\tan (t)}{5})}^{3} \frac{\sec^{2} (t) \sec^{1} (t)}{5} d t$

Passaggio 2.2.1.3.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int {(\frac{\tan (t)}{5})}^{3} \frac{{\sec (t)}^{2 + 1}}{5} d t$

Passaggio 2.2.1.3.2

Somma $2$ e $1$ .

$\int {(\frac{\tan (t)}{5})}^{3} \frac{\sec^{3} (t)}{5} d t$

Passaggio 2.2.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\tan (t)}{5}$ .

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{5^{3}} \cdot \frac{\sec^{3} (t)}{5} d t$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{125} \cdot \frac{\sec^{3} (t)}{5} d t$

Passaggio 2.2.3.2

Moltiplica $\frac{\tan^{3} (t)}{125}$ per $\frac{\sec^{3} (t)}{5}$ .

$\int \frac{\tan^{3} (t) \sec^{3} (t)}{125 \cdot 5} d t$

Passaggio 2.2.3.3

Moltiplica $125$ per $5$ .

$\int \frac{\tan^{3} (t) \sec^{3} (t)}{625} d t$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{625}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{625}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{625} \int \tan^{3} (t) \sec^{3} (t) d t$

Passaggio 4

Metti in evidenza $\tan^{2} (t)$ .

$\frac{1}{625} \int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

Passaggio 5

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\tan^{2} (t)$ come $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\frac{1}{625} \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

Passaggio 6

Sia $u = \sec (t)$ . Allora $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , quindi $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 6.1

Sia $u = \sec (t)$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 6.1.1

Differenzia $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Passaggio 6.1.2

La derivata di $\sec (t)$ rispetto a $t$ è $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{625} \int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

Passaggio 7

Moltiplica $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ .

$\frac{1}{625} \int - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Riscrivi $- 1 u^{2}$ come $- u^{2}$ .

$\frac{1}{625} \int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 8.2

Moltiplica $u^{2}$ per $u^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{625} \int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Passaggio 8.2.2

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{1}{625} \int - u^{2} + u^{4} d u$

Passaggio 9

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{625} (\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

Passaggio 10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{625} (- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

Passaggio 11

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{625} (- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u)$

Passaggio 12

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{4}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{625} (- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

$\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$\frac{1}{625} (- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Passaggio 13.1.2

$\frac{1}{5}$ e $u^{5}$ .

$\frac{1}{625} (- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{u^{5}}{5} + C)$

Passaggio 13.2

Semplifica.

$\frac{1}{625} (- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5}) + C$

Passaggio 14

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 14.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sec (t)$ .

$\frac{1}{625} (- \frac{1}{3} \sec^{3} (t) + \frac{1}{5} \sec^{5} (t)) + C$

Passaggio 14.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arctan (5 x)$ .

$\frac{1}{625} (- \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (5 x)) + \frac{1}{5} \sec^{5} (\arctan (5 x))) + C$