Calcolo Esempi

$\int \frac{y - 2}{y^{2} + 2 y - 3} d y$

Passaggio 1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

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Passaggio 1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Scomponi $y^{2} + 2 y - 3$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 3$ e la cui somma è $2$ .

$- 1, 3$

Passaggio 1.1.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{y - 2}{(y - 1) (y + 3)}$

Passaggio 1.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{y - 1}$

Passaggio 1.1.3

$\frac{A}{y - 1} + \frac{B}{y + 3}$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(y - 1) (y + 3)$ .

$\frac{(y - 2) (y - 1) (y + 3)}{(y - 1) (y + 3)} = \frac{(A) (y - 1) (y + 3)}{y - 1} + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

Passaggio 1.1.5

Elimina il fattore comune di $y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(y - 2) (y - 1) (y + 3)}{(y - 1) (y + 3)} = \frac{(A) (y - 1) (y + 3)}{y - 1} + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

Passaggio 1.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(y - 2) (y + 3)}{y + 3} = \frac{(A) (y - 1) (y + 3)}{y - 1} + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

Passaggio 1.1.6

Elimina il fattore comune di $y + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(y - 2) (y + 3)}{y + 3} = \frac{(A) (y - 1) (y + 3)}{y - 1} + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

Passaggio 1.1.6.2

Dividi $y - 2$ per $1$ .

$y - 2 = \frac{(A) (y - 1) (y + 3)}{y - 1} + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

Passaggio 1.1.7

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.7.1

Elimina il fattore comune di $y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$y - 2 = \frac{A (y - 1) (y + 3)}{y - 1} + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

Passaggio 1.1.7.1.2

Dividi $(A) (y + 3)$ per $1$ .

$y - 2 = (A) (y + 3) + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

Passaggio 1.1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$y - 2 = A y + A \cdot 3 + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

Passaggio 1.1.7.3

Sposta $3$ alla sinistra di $A$ .

$y - 2 = A y + 3 \cdot A + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

Passaggio 1.1.7.4

Elimina il fattore comune di $y + 3$ .

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Passaggio 1.1.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$y - 2 = A y + 3 A + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

Passaggio 1.1.7.4.2

Dividi $(B) (y - 1)$ per $1$ .

$y - 2 = A y + 3 A + (B) (y - 1)$

Passaggio 1.1.7.5

Applica la proprietà distributiva.

$y - 2 = A y + 3 A + B y + B \cdot - 1$

Passaggio 1.1.7.6

Sposta $- 1$ alla sinistra di $B$ .

$y - 2 = A y + 3 A + B y - 1 \cdot B$

Passaggio 1.1.7.7

Riscrivi $- 1 B$ come $- B$ .

$y - 2 = A y + 3 A + B y - B$

Passaggio 1.1.8

Sposta $3 A$ .

$y - 2 = A y + B y + 3 A - B$

Passaggio 1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

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Passaggio 1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $y$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A + B$

Passaggio 1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $y$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 2 = 3 A - 1 B$

Passaggio 1.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$1 = A + B$

$- 2 = 3 A - 1 B$

$1 = A + B$

$- 2 = 3 A - 1 B$

Passaggio 1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

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Passaggio 1.3.1

Risolvi per $A$ in $1 = A + B$ .

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Passaggio 1.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$- 2 = 3 A - 1 B$

Passaggio 1.3.1.2

Sottrai $B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 A - 1 B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 A - 1 B$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $1 - B$ in ogni equazione.

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Passaggio 1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $- 2 = 3 A - 1 B$ con $1 - B$ .

$- 2 = 3 (1 - B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.3.2.2.1

Semplifica $3 (1 - B) - 1 B$ .

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Passaggio 1.3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 = 3 \cdot 1 + 3 (- B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.3.2.2.1.1.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- 2 = 3 + 3 (- B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.3.2.2.1.1.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 2 = 3 - 3 B - 1 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.3.2.2.1.1.4

Riscrivi $- 1 B$ come $- B$ .

$- 2 = 3 - 3 B - B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 3 B - B$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.3.2.2.1.2

Sottrai $B$ da $- 3 B$ .

$- 2 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.3.3

Risolvi per $B$ in $- 2 = 3 - 4 B$ .

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Passaggio 1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $3 - 4 B = - 2$ .

$3 - 4 B = - 2$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 1.3.3.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 B = - 2 - 3$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.3.3.2.2

Sottrai $3$ da $- 2$ .

$- 4 B = - 5$

$A = 1 - B$

$- 4 B = - 5$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.3.3.3

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 B = - 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 B = - 5$ .

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 5}{- 4}$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 5}{- 4}$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.3.3.3.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{- 5}{- 4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 5}{- 4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 5}{- 4}$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.3.3.3.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$B = \frac{5}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{4}$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $\frac{5}{4}$ in ogni equazione.

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Passaggio 1.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = 1 - B$ con $\frac{5}{4}$ .

$A = 1 - (\frac{5}{4})$

$B = \frac{5}{4}$

Passaggio 1.3.4.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.3.4.2.1

Semplifica $1 - (\frac{5}{4})$ .

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Passaggio 1.3.4.2.1.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$A = \frac{4}{4} - \frac{5}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

Passaggio 1.3.4.2.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A = \frac{4 - 5}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

Passaggio 1.3.4.2.1.3

Sottrai $5$ da $4$ .

$A = \frac{- 1}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

Passaggio 1.3.4.2.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

Passaggio 1.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = - \frac{1}{4}, B = \frac{5}{4}$

Passaggio 1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{y - 1} + \frac{B}{y + 3}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{- \frac{1}{4}}{y - 1} + \frac{\frac{5}{4}}{y + 3}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{y - 1} + \frac{\frac{5}{4}}{y + 3}$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $\frac{1}{y - 1}$ per $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{(y - 1) \cdot 4} + \frac{\frac{5}{4}}{y + 3}$

Passaggio 1.5.3

Sposta $4$ alla sinistra di $y - 1$ .

$- \frac{1}{4 (y - 1)} + \frac{\frac{5}{4}}{y + 3}$

Passaggio 1.5.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{1}{4 (y - 1)} + \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{y + 3}$

Passaggio 1.5.5

Moltiplica $\frac{5}{4}$ per $\frac{1}{y + 3}$ .

$\int - \frac{1}{4 (y - 1)} + \frac{5}{4 (y + 3)} d y$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - \frac{1}{4 (y - 1)} d y + \int \frac{5}{4 (y + 3)} d y$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{4 (y - 1)} d y + \int \frac{5}{4 (y + 3)} d y$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{y - 1} d y) + \int \frac{5}{4 (y + 3)} d y$

Passaggio 5

Sia $u_{1} = y - 1$ . Allora $d u_{1} = d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u_{1} = y - 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 5.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 5.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{5}{4 (y + 3)} d y$

Passaggio 6

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{5}{4 (y + 3)} d y$

Passaggio 7

Poiché $\frac{5}{4}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $\frac{5}{4}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{5}{4} \int \frac{1}{y + 3} d y$

Passaggio 8

Sia $u_{2} = y + 3$ . Allora $d u_{2} = d y$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sia $u_{2} = y + 3$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Differenzia $y + 3$ .

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

Passaggio 8.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 3$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Passaggio 8.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

Passaggio 8.1.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $3$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 8.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 8.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{5}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 9

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{5}{4} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Passaggio 10

Semplifica.

$- \frac{1}{4} \ln (| u_{1} |) + \frac{5}{4} \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 11

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y - 1$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| y - 1 |) + \frac{5}{4} \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 11.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y + 3$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| y - 1 |) + \frac{5}{4} \ln (| y + 3 |) + C$