Calcolo Esempi

$f (x) = \tan (x) \cos (x)$

Passaggio 1

Considera la definizione di limite della derivata.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

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Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

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Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = \tan (x + h) \cos (x + h)$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 2.1.2.1

Riscrivi in termini di seni e coseni, quindi cancella i fattori in comune.

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Passaggio 2.1.2.1.1

Riscrivi $\tan (x + h) \cos (x + h)$ in termini di seno e coseno.

$f (x + h) = \frac{\sin (x + h)}{\cos (x + h)} \cdot \cos (x + h)$

Passaggio 2.1.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

$f (x + h) = \sin (x + h)$

Passaggio 2.1.2.2

La risposta finale è $\sin (x + h)$ .

$\sin (x + h)$

Passaggio 2.2

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = \sin (x + h)$

$f (x) = \sin (x)$

$f (x + h) = \sin (x + h)$

$f (x) = \sin (x)$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) - (\sin (x))}{h}$

Passaggio 4

Use a sum or difference formula on the numerator.

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Passaggio 4.1

Usa la formula di addizione del seno per semplificare l'espressione. La formula stabilisce che $\sin (A + B) = \sin (A) \cos (B) + \cos (A) \sin (B)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h)) - (\sin (x))}{h}$

Passaggio 4.2

Rimuovi le parentesi.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h)) - (\sin (x))}{h}$

Passaggio 4.3

Moltiplica $- 1$ per $\sin (x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)}{h}$

Passaggio 5

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 5.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 5.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{h \to 0} \sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 5.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 5.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \sin (x) \cos (h) + lim_{h \to 0} \cos (x) \sin (h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 5.1.2.2

Sposta il termine $\sin (x)$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$\frac{\sin (x) lim_{h \to 0} \cos (h) + lim_{h \to 0} \cos (x) \sin (h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 5.1.2.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{\sin (x) \cos (lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} \cos (x) \sin (h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 5.1.2.4

Sposta il termine $\cos (x)$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$\frac{\sin (x) \cos (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) lim_{h \to 0} \sin (h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 5.1.2.5

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{\sin (x) \cos (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) \sin (lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 5.1.2.6

Calcola il limite di $\sin (x)$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$\frac{\sin (x) \cos (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) \sin (lim_{h \to 0} h) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 5.1.2.7

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $h$ .

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Passaggio 5.1.2.7.1

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{\sin (x) \cos (0) + \cos (x) \sin (lim_{h \to 0} h) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 5.1.2.7.2

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{\sin (x) \cos (0) + \cos (x) \sin (0) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 5.1.2.8

Semplifica la risposta.

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Passaggio 5.1.2.8.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.1.2.8.1.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (0) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 5.1.2.8.1.2

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$\frac{\sin (x) + \cos (x) \sin (0) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 5.1.2.8.1.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{\sin (x) + \cos (x) \cdot 0 - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 5.1.2.8.1.4

Moltiplica $\cos (x)$ per $0$ .

$\frac{\sin (x) + 0 - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 5.1.2.8.2

Combina i termini opposti in $\sin (x) + 0 - \sin (x)$ .

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Passaggio 5.1.2.8.2.1

Somma $\sin (x)$ e $0$ .

$\frac{\sin (x) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 5.1.2.8.2.2

Sottrai $\sin (x)$ da $\sin (x)$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 5.1.3

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 5.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 5.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 5.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)$ rispetto a $h$ è $\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h)] + \frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h)] + \frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3.3

Calcola $\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h)]$ .

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Passaggio 5.3.3.1

Poiché $\sin (x)$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $\sin (x) \cos (h)$ rispetto a $h$ è $\sin (x) \frac{d}{d h} [\cos (h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) \frac{d}{d h} [\cos (h)] + \frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3.3.2

La derivata di $\cos (h)$ rispetto a $h$ è $- \sin (h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3.4

Calcola $\frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)]$ .

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Passaggio 5.3.4.1

Poiché $\cos (x)$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $\cos (x) \sin (h)$ rispetto a $h$ è $\cos (x) \frac{d}{d h} [\sin (h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \frac{d}{d h} [\sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3.4.2

La derivata di $\sin (h)$ rispetto a $h$ è $\cos (h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \cos (h) + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3.5

Poiché $- \sin (x)$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $- \sin (x)$ rispetto a $h$ è $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \cos (h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3.6

Semplifica.

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Passaggio 5.3.6.1

Somma $\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \cos (h)$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \cos (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3.6.2

Riordina i termini.

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h) \sin (x) + \cos (h) \cos (x)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h) \sin (x) + \cos (h) \cos (x)}{1}$

Passaggio 5.4

Dividi $- \sin (h) \sin (x) + \cos (h) \cos (x)$ per $1$ .

$lim_{h \to 0} - \sin (h) \sin (x) + \cos (h) \cos (x)$

Passaggio 6

Calcola il limite.

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Passaggio 6.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$- lim_{h \to 0} \sin (h) \sin (x) + lim_{h \to 0} \cos (h) \cos (x)$

Passaggio 6.2

Sposta il termine $\sin (x)$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$- \sin (x) lim_{h \to 0} \sin (h) + lim_{h \to 0} \cos (h) \cos (x)$

Passaggio 6.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$- \sin (x) \sin (lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} \cos (h) \cos (x)$

Passaggio 6.4

Sposta il termine $\cos (x)$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$- \sin (x) \sin (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) lim_{h \to 0} \cos (h)$

Passaggio 6.5

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$- \sin (x) \sin (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) \cos (lim_{h \to 0} h)$

Passaggio 7

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $h$ .

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Passaggio 7.1

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$- \sin (x) \sin (0) + \cos (x) \cos (lim_{h \to 0} h)$

Passaggio 7.2

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$- \sin (x) \sin (0) + \cos (x) \cos (0)$

Passaggio 8

Semplifica la risposta.

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Passaggio 8.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.1.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$- \sin (x) \cdot 0 + \cos (x) \cos (0)$

Passaggio 8.1.2

Moltiplica $- \sin (x) \cdot 0$ .

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Passaggio 8.1.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$0 \sin (x) + \cos (x) \cos (0)$

Passaggio 8.1.2.2

Moltiplica $0$ per $\sin (x)$ .

$0 + \cos (x) \cos (0)$

Passaggio 8.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$0 + \cos (x) \cdot 1$

Passaggio 8.1.4

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$0 + \cos (x)$

Passaggio 8.2

Somma $0$ e $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Passaggio 9