Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt[4]{x}$ , $[1, 16]$

Passaggio 1

Per trovare il valore medio di una funzione, la funzione dovrebbe essere continua sull'intervallo chiuso $[a, b]$ . Per scoprire se $f (x)$ è continua su $[1, 16]$ o no, calcola il dominio di $f (x) = \sqrt[4]{x}$ .

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Passaggio 1.1

Imposta il radicando in $\sqrt[4]{x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \geq 0$

Passaggio 1.2

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \geq 0}$

Notazione degli intervalli:

$[0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \geq 0}$

Passaggio 2

$f (x)$ è continua su $[1, 16]$ .

$f (x)$ è continua

Passaggio 3

Il valore medio della funzione $f$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\int_{1}^{16} \sqrt[4]{x} d x)$

Passaggio 5

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[4]{x}$ come $x^{\frac{1}{4}}$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\int_{1}^{16} x^{\frac{1}{4}} d x)$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{\frac{1}{4}}$ rispetto a $x$ è $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}]_{1}^{16})$

Passaggio 7

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 7.1

Calcola $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}$ per $16$ e per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} ((\frac{4}{5} \cdot 16^{\frac{5}{4}}) - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

Riscrivi $16$ come $2^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} \cdot {(2^{4})}^{\frac{5}{4}} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Passaggio 7.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} \cdot 2^{4 (\frac{5}{4})} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Passaggio 7.2.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 7.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} \cdot 2^{4 (\frac{5}{4})} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Passaggio 7.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} \cdot 2^{5} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Passaggio 7.2.4

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} \cdot 32 - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Passaggio 7.2.5

$\frac{4}{5}$ e $32$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4 \cdot 32}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Passaggio 7.2.6

Moltiplica $4$ per $32$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{128}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Passaggio 7.2.7

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{128}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1)$

Passaggio 7.2.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{128}{5} - \frac{4}{5})$

Passaggio 7.2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{128 - 4}{5})$

Passaggio 7.2.10

Sottrai $4$ da $128$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{124}{5})$

Passaggio 8

Sottrai $1$ da $16$ .

$A (x) = \frac{1}{15} \cdot \frac{124}{5}$

Passaggio 9

Moltiplica $\frac{1}{15} \cdot \frac{124}{5}$ .

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Passaggio 9.1

Moltiplica $\frac{1}{15}$ per $\frac{124}{5}$ .

$A (x) = \frac{124}{15 \cdot 5}$

Passaggio 9.2

Moltiplica $15$ per $5$ .

$A (x) = \frac{124}{75}$

Passaggio 10