Calcolo Esempi

${(5 x)}^{x}$

Passaggio 1

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 1.1

Scomponi $5$ da $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(5 (x))}^{x}]$

Passaggio 1.2

Applica la regola del prodotto a $5 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [5^{x} x^{x}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 5^{x}$ e $g (x) = x^{x}$ .

$5^{x} \frac{d}{d x} [x^{x}] + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

Passaggio 3

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare la differenziazione.

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Passaggio 3.1

Riscrivi $x^{x}$ come $e^{\ln (x^{x})}$ .

$5^{x} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}] + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

Passaggio 3.2

Espandi $\ln (x^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$5^{x} \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}] + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x \ln (x)$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x \ln (x)$ .

$5^{x} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$5^{x} (e^{u} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x \ln (x)$ .

$5^{x} (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$5^{x} (e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

Passaggio 6

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$5^{x} (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 7.1

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$5^{x} (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune.

$5^{x} (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

Passaggio 7.2.2

Riscrivi l'espressione.

$5^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

Passaggio 7.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)) + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

Passaggio 7.4

Moltiplica $\ln (x)$ per $1$ .

$5^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

Passaggio 8

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $5$ .

$5^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + x^{x} (5^{x} \ln (5))$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Applica la proprietà distributiva.

$5^{x} (e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)) + x^{x} (5^{x} \ln (5))$

Passaggio 9.2

Applica la proprietà distributiva.

$5^{x} (e^{x \ln (x)} \cdot 1) + 5^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x)) + x^{x} (5^{x} \ln (5))$

Passaggio 9.3

Moltiplica $e^{x \ln (x)}$ per $1$ .

$5^{x} e^{x \ln (x)} + 5^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x)) + x^{x} (5^{x} \ln (5))$

Passaggio 9.4

Riordina i termini.

$5^{x} e^{x \ln (x)} + 5^{x} e^{x \ln (x)} \ln (x) + 5^{x} x^{x} \ln (5)$