Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{6} \cdot {(9 x + 9)}^{3}$

Passaggio 1

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{6} \cdot {(9 x + 9)}^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [{(9 x + 9)}^{3}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [{(9 x + 9)}^{3}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 9 x + 9$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $9 x + 9$ .

$\frac{1}{6} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [9 x + 9])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{6} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [9 x + 9])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $9 x + 9$ .

$\frac{1}{6} (3 {(9 x + 9)}^{2} \frac{d}{d x} [9 x + 9])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

$3$ e $\frac{1}{6}$ .

$\frac{3}{6} ({(9 x + 9)}^{2} \frac{d}{d x} [9 x + 9])$

Passaggio 3.2

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.2.1

${(9 x + 9)}^{2}$ e $\frac{3}{6}$ .

$\frac{{(9 x + 9)}^{2} \cdot 3}{6} \frac{d}{d x} [9 x + 9]$

Passaggio 3.2.2

Sposta $3$ alla sinistra di ${(9 x + 9)}^{2}$ .

$\frac{3 \cdot {(9 x + 9)}^{2}}{6} \frac{d}{d x} [9 x + 9]$

Passaggio 3.2.3

Elimina il fattore comune di $3$ e $6$ .

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Passaggio 3.2.3.1

Scomponi $3$ da $3 {(9 x + 9)}^{2}$ .

$\frac{3 ({(9 x + 9)}^{2})}{6} \frac{d}{d x} [9 x + 9]$

Passaggio 3.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.2.3.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{3 {(9 x + 9)}^{2}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d x} [9 x + 9]$

Passaggio 3.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 {(9 x + 9)}^{2}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d x} [9 x + 9]$

Passaggio 3.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{(9 x + 9)}^{2}}{2} \frac{d}{d x} [9 x + 9]$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 x + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{{(9 x + 9)}^{2}}{2} (\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 3.4

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(9 x + 9)}^{2}}{2} (9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{{(9 x + 9)}^{2}}{2} (9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 3.6

Moltiplica $9$ per $1$ .

$\frac{{(9 x + 9)}^{2}}{2} (9 + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 3.7

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{{(9 x + 9)}^{2}}{2} (9 + 0)$

Passaggio 3.8

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.8.1

Somma $9$ e $0$ .

$\frac{{(9 x + 9)}^{2}}{2} \cdot 9$

Passaggio 3.8.2

$\frac{{(9 x + 9)}^{2}}{2}$ e $9$ .

$\frac{{(9 x + 9)}^{2} \cdot 9}{2}$

Passaggio 3.8.3

Sposta $9$ alla sinistra di ${(9 x + 9)}^{2}$ .

$\frac{9 \cdot {(9 x + 9)}^{2}}{2}$

Passaggio 4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1

Riscrivi ${(9 x + 9)}^{2}$ come $(9 x + 9) (9 x + 9)$ .

$\frac{9 ((9 x + 9) (9 x + 9))}{2}$

Passaggio 4.2

Espandi $(9 x + 9) (9 x + 9)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{9 (9 x (9 x + 9) + 9 (9 x + 9))}{2}$

Passaggio 4.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{9 (9 x (9 x) + 9 x \cdot 9 + 9 (9 x + 9))}{2}$

Passaggio 4.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{9 (9 x (9 x) + 9 x \cdot 9 + 9 (9 x) + 9 \cdot 9)}{2}$

Passaggio 4.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{9 (9 \cdot 9 x \cdot x + 9 x \cdot 9 + 9 (9 x) + 9 \cdot 9)}{2}$

Passaggio 4.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{9 (9 \cdot 9 (x \cdot x) + 9 x \cdot 9 + 9 (9 x) + 9 \cdot 9)}{2}$

Passaggio 4.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{9 (9 \cdot 9 x^{2} + 9 x \cdot 9 + 9 (9 x) + 9 \cdot 9)}{2}$

Passaggio 4.3.1.3

Moltiplica $9$ per $9$ .

$\frac{9 (81 x^{2} + 9 x \cdot 9 + 9 (9 x) + 9 \cdot 9)}{2}$

Passaggio 4.3.1.4

Moltiplica $9$ per $9$ .

$\frac{9 (81 x^{2} + 81 x + 9 (9 x) + 9 \cdot 9)}{2}$

Passaggio 4.3.1.5

Moltiplica $9$ per $9$ .

$\frac{9 (81 x^{2} + 81 x + 81 x + 9 \cdot 9)}{2}$

Passaggio 4.3.1.6

Moltiplica $9$ per $9$ .

$\frac{9 (81 x^{2} + 81 x + 81 x + 81)}{2}$

Passaggio 4.3.2

Somma $81 x$ e $81 x$ .

$\frac{9 (81 x^{2} + 162 x + 81)}{2}$

Passaggio 4.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{9 (81 x^{2}) + 9 (162 x) + 9 \cdot 81}{2}$

Passaggio 4.5

Semplifica.

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Passaggio 4.5.1

Moltiplica $81$ per $9$ .

$\frac{729 x^{2} + 9 (162 x) + 9 \cdot 81}{2}$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica $162$ per $9$ .

$\frac{729 x^{2} + 1458 x + 9 \cdot 81}{2}$

Passaggio 4.5.3

Moltiplica $9$ per $81$ .

$\frac{729 x^{2} + 1458 x + 729}{2}$