Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 5}$ , $x = 2$

Passaggio 1

Considera la formula del rapporto incrementale.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = \sqrt{{(x + h)}^{2} + 5}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 2.1.2.1

Riscrivi ${(x + h)}^{2}$ come $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = \sqrt{(x + h) (x + h) + 5}$

Passaggio 2.1.2.2

Espandi $(x + h) (x + h)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.1.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = \sqrt{x (x + h) + h (x + h) + 5}$

Passaggio 2.1.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = \sqrt{x \cdot x + x h + h (x + h) + 5}$

Passaggio 2.1.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = \sqrt{x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 5}$

Passaggio 2.1.2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 5}$

Passaggio 2.1.2.3.1.2

Moltiplica $h$ per $h$ .

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + x h + h x + h^{2} + 5}$

Passaggio 2.1.2.3.2

Somma $x h$ e $h x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.2.1

Riordina $x$ e $h$ .

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + h x + h x + h^{2} + 5}$

Passaggio 2.1.2.3.2.2

Somma $h x$ e $h x$ .

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5}$

Passaggio 2.1.2.4

La risposta finale è $\sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5}$ .

$\sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5}$

Passaggio 2.2

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5}$

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 5}$

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5}$

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 5}$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5} - (\sqrt{x^{2} + 5})}{h}$

Passaggio 4

Moltiplica $- 1$ per $\sqrt{x^{2} + 5}$ .

$\frac{\sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5} - \sqrt{x^{2} + 5}}{h}$

Passaggio 5

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + 2 h (2) + h^{2} + 5} - \sqrt{{(2)}^{2} + 5}}{h}$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 h \cdot 2 + h^{2} + 5} - \sqrt{2^{2} + 5}}{h}$

Passaggio 6.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 h + h^{2} + 5} - \sqrt{2^{2} + 5}}{h}$

Passaggio 6.3

Somma $4$ e $5$ .

$\frac{\sqrt{4 h + h^{2} + 9} - \sqrt{2^{2} + 5}}{h}$

Passaggio 6.4

Riordina i termini.

$\frac{\sqrt{h^{2} + 4 h + 9} - \sqrt{2^{2} + 5}}{h}$

Passaggio 6.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{h^{2} + 4 h + 9} - \sqrt{4 + 5}}{h}$

Passaggio 6.6

Somma $4$ e $5$ .

$\frac{\sqrt{h^{2} + 4 h + 9} - \sqrt{9}}{h}$

Passaggio 6.7

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{h^{2} + 4 h + 9} - \sqrt{3^{2}}}{h}$

Passaggio 6.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{\sqrt{h^{2} + 4 h + 9} - 1 \cdot 3}{h}$

Passaggio 6.9

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{\sqrt{h^{2} + 4 h + 9} - 3}{h}$

Passaggio 7