Calcolo Esempi

$x y^{2} - 2 x^{2} y = 1 + x^{2}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x y^{2} - 2 x^{2} y) = \frac{d}{d x} (1 + x^{2})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x y^{2} - 2 x^{2} y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$

Passaggio 2.2.5

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$

Passaggio 2.2.6

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{2} y$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$2 x y y' + y^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$2 x y y' + y^{2} - 2 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x y y' + y^{2} - 2 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x y y' + y^{2} - 2 (x^{2} y' + y (2 x))$

Passaggio 2.3.5

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$2 x y y' + y^{2} - 2 (x^{2} y' + 2 y x)$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x y y' + y^{2} - 2 (x^{2} y') - 2 (2 y x)$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$2 x y y' + y^{2} - 2 x^{2} y' - 4 y x$

Passaggio 2.4.3

Riordina i termini.

$y^{2} + 2 x y y' - 2 x^{2} y' - 4 x y$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Passaggio 3.4

Somma $0$ e $2 x$ .

$2 x$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y^{2} + 2 x y y' - 2 x^{2} y' - 4 x y = 2 x$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Sottrai $y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x y y' - 2 x^{2} y' - 4 x y = 2 x - y^{2}$

Passaggio 5.1.2

Somma $4 x y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x y y' - 2 x^{2} y' = 2 x - y^{2} + 4 x y$

Passaggio 5.2

Scomponi $2 x y'$ da $2 x y y' - 2 x^{2} y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $2 x y'$ da $2 x y y'$ .

$2 x y' y - 2 x^{2} y' = 2 x - y^{2} + 4 x y$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $2 x y'$ da $- 2 x^{2} y'$ .

$2 x y' y + 2 x y' (- x) = 2 x - y^{2} + 4 x y$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $2 x y'$ da $2 x y' y + 2 x y' (- x)$ .

$2 x y' (y - x) = 2 x - y^{2} + 4 x y$

Passaggio 5.3

Dividi per $2 x (y - x)$ ciascun termine in $2 x y' (y - x) = 2 x - y^{2} + 4 x y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $2 x (y - x)$ ciascun termine in $2 x y' (y - x) = 2 x - y^{2} + 4 x y$ .

$\frac{2 x y' (y - x)}{2 x (y - x)} = \frac{2 x}{2 x (y - x)} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x y' (y - x)}{2 x (y - x)} = \frac{2 x}{2 x (y - x)} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x y' (y - x)}{x (y - x)} = \frac{2 x}{2 x (y - x)} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y' (y - x)}{x (y - x)} = \frac{2 x}{2 x (y - x)} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (y - x)}{y - x} = \frac{2 x}{2 x (y - x)} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Passaggio 5.3.2.3

Elimina il fattore comune di $y - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (y - x)}{y - x} = \frac{2 x}{2 x (y - x)} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Passaggio 5.3.2.3.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{2 x}{2 x (y - x)} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 x}{2 x (y - x)} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Passaggio 5.3.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{x}{x (y - x)} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{x}{x (y - x)} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Passaggio 5.3.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{1}{y - x} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Passaggio 5.3.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{1}{y - x} - \frac{y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Passaggio 5.3.3.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.4.1

Scomponi $2$ da $4 x y$ .

$y' = \frac{1}{y - x} - \frac{y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 (2 x y)}{2 x (y - x)}$

Passaggio 5.3.3.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $2 x (y - x)$ .

$y' = \frac{1}{y - x} - \frac{y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 (2 x y)}{2 (x (y - x))}$

Passaggio 5.3.3.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{1}{y - x} - \frac{y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 (2 x y)}{2 (x (y - x))}$

Passaggio 5.3.3.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{1}{y - x} - \frac{y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 x y}{x (y - x)}$

Passaggio 5.3.3.1.5

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{1}{y - x} - \frac{y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 x y}{x (y - x)}$

Passaggio 5.3.3.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{1}{y - x} - \frac{y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 y}{y - x}$

Passaggio 5.3.3.2

Per scrivere $\frac{1}{y - x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 x}{2 x}$ .

$y' = \frac{1}{y - x} \cdot \frac{2 x}{2 x} - \frac{y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 y}{y - x}$

Passaggio 5.3.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(y - x) \cdot 2 x$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1

Moltiplica $\frac{1}{y - x}$ per $\frac{2 x}{2 x}$ .

$y' = \frac{2 x}{(y - x) (2 x)} - \frac{y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 y}{y - x}$

Passaggio 5.3.3.3.2

Riordina i fattori di $(y - x) (2 x)$ .

$y' = \frac{2 x}{2 x (y - x)} - \frac{y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 y}{y - x}$

Passaggio 5.3.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{2 x - y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 y}{y - x}$

Passaggio 5.3.3.5

Per scrivere $\frac{2 y}{y - x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 x}{2 x}$ .

$y' = \frac{2 x - y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 y}{y - x} \cdot \frac{2 x}{2 x}$

Passaggio 5.3.3.6

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $2 x (y - x)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.6.1

Moltiplica $\frac{2 y}{y - x}$ per $\frac{2 x}{2 x}$ .

$y' = \frac{2 x - y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 y (2 x)}{(y - x) (2 x)}$

Passaggio 5.3.3.6.2

Riordina i fattori di $(y - x) (2 x)$ .

$y' = \frac{2 x - y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 y (2 x)}{2 x (y - x)}$

Passaggio 5.3.3.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{2 x - y^{2} + 2 y (2 x)}{2 x (y - x)}$

Passaggio 5.3.3.8

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y' = \frac{2 x - y^{2} + 4 y x}{2 x (y - x)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - y^{2} + 4 y x}{2 x (y - x)}$