Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

Passaggio 1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(1 + x^{2})}^{3}}} d x$

Passaggio 2

Sia $x = \tan (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ è positivo.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(1 + \tan^{2} (t))}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 3

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.1

Semplifica $\sqrt{{(1 + \tan^{2} (t))}^{3}}$ .

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Passaggio 3.1.1

Rimetti in ordine i termini.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{2} (t) + 1)}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 3.1.2

Applica l'identità pitagorica.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{2} (t))}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 3.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(\sec^{2} (t))}^{3}$ .

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Passaggio 3.1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{\sec (t)}^{2 \cdot 3}}} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 3.1.3.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{\sec^{6} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 3.1.4

Riscrivi $\sec^{6} (t)$ come ${(\sec^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{3} (t))}^{2}}} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 3.1.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int \frac{1}{\sec^{3} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 3.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune di $\sec^{2} (t)$ .

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Passaggio 3.2.1.1

Scomponi $\sec^{2} (t)$ da $\sec^{3} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sec^{2} (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 3.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{1}{\sec^{2} (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 3.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{1}{\sec (t)} d t$

Passaggio 3.2.2

Semplifica.

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Passaggio 3.2.2.1

Riscrivi $\sec (t)$ in termini di seno e coseno.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}} d t$

Passaggio 3.2.2.2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\int 1 \cos (t) d t$

Passaggio 3.2.2.3

Moltiplica $\cos (t)$ per $1$ .

$\int \cos (t) d t$

Passaggio 4

L'integrale di $\cos (t)$ rispetto a $t$ è $\sin (t)$ .

$\sin (t) + C$

Passaggio 5

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arctan (x)$ .

$\sin (\arctan (x)) + C$