Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\infty} e^{- x} d x$

Passaggio 1

Scrivi l'integrale come un limite per $t$ tendente a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} e^{- x} d x$

Passaggio 2

Sia $u = - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 2.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Passaggio 2.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 2.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = - x$ .

$u_{upper} = - t$

Passaggio 2.5

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - t$

Passaggio 2.6

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- t} - e^{u} d u$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{- t} e^{u} d u$

Passaggio 4

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{u}]_{0}^{- t})$

Passaggio 5

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 5.1

Calcola $e^{u}$ per $- t$ e per $0$ .

$lim_{t \to \infty} - ((e^{- t}) - e^{0})$

Passaggio 5.2

Semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{- t} - 1 \cdot 1)$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{- t} - 1)$

Passaggio 6

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$- lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1$

Passaggio 6.1.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $\infty$ .

$- (lim_{t \to \infty} e^{- t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Passaggio 6.2

Poiché l'esponente $- t$ tende a $- \infty$ , la quantità $e^{- t}$ tende a $0$ .

$- (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Passaggio 6.3

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $t$ tende a $\infty$ .

$- (0 - 1 \cdot 1)$

Passaggio 6.3.2

Semplifica la risposta.

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Passaggio 6.3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- (0 - 1)$

Passaggio 6.3.2.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$- - 1$

Passaggio 6.3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1$