Calcolo Esempi

$\frac{1}{x + k e^{x}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 1$ e $g (x) = x + k e^{x}$ .

$\frac{(x + k e^{x}) \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [x + k e^{x}]}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x + k e^{x}) \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [x + k e^{x}]}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + k e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [k e^{x}]$ .

$\frac{(x + k e^{x}) \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [k e^{x}])}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x + k e^{x}) \cdot 0 - 1 \cdot 1 (1 + \frac{d}{d x} [k e^{x}])}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [k e^{x}]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $k$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $k e^{x}$ rispetto a $x$ è $k \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(x + k e^{x}) \cdot 0 - 1 \cdot 1 (1 + k \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{(x + k e^{x}) \cdot 0 - 1 \cdot 1 (1 + k e^{x})}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riordina i termini.

$\frac{(x + k e^{x}) \cdot 0 - 1 \cdot 1 (e^{x} k + 1)}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Passaggio 4.2

Riordina i fattori in $e^{x} k + 1$ .

$\frac{(x + k e^{x}) \cdot 0 - 1 \cdot 1 (k e^{x} + 1)}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot 0 + k e^{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (k e^{x} + 1)}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot 0 + k e^{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (k e^{x}) - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.1.1

Moltiplica $x$ per $0$ .

$\frac{0 + k e^{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (k e^{x}) - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2

Moltiplica $k e^{x} \cdot 0$ .

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Passaggio 5.3.1.2.1

Moltiplica $0$ per $k$ .

$\frac{0 + 0 e^{x} - 1 \cdot 1 (k e^{x}) - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2.2

Moltiplica $0$ per $e^{x}$ .

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 1 (k e^{x}) - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{0 + 0 - (k e^{x}) - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.4

Moltiplica $- 1 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Passaggio 5.3.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{0 + 0 - k e^{x} - 1 \cdot 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.4.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{0 + 0 - k e^{x} - 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Combina i termini opposti in $0 + 0 - k e^{x} - 1$ .

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Passaggio 5.3.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0 - k e^{x} - 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.2

Sottrai $k e^{x}$ da $0$ .

$\frac{- k e^{x} - 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Passaggio 5.4

Riordina i termini.

$\frac{- e^{x} k - 1}{{(e^{x} k + x)}^{2}}$

Passaggio 5.5

Scomponi $- 1$ da $- e^{x} k$ .

$\frac{- (e^{x} k) - 1}{{(e^{x} k + x)}^{2}}$

Passaggio 5.6

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{- (e^{x} k) - 1 (1)}{{(e^{x} k + x)}^{2}}$

Passaggio 5.7

Scomponi $- 1$ da $- (e^{x} k) - 1 (1)$ .

$\frac{- (e^{x} k + 1)}{{(e^{x} k + x)}^{2}}$

Passaggio 5.8

Riscrivi $- (e^{x} k + 1)$ come $- 1 (e^{x} k + 1)$ .

$\frac{- 1 (e^{x} k + 1)}{{(e^{x} k + x)}^{2}}$

Passaggio 5.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{e^{x} k + 1}{{(e^{x} k + x)}^{2}}$

Passaggio 5.10

Riordina i fattori in $- \frac{e^{x} k + 1}{{(e^{x} k + x)}^{2}}$ .

$- \frac{k e^{x} + 1}{{(k e^{x} + x)}^{2}}$