Calcolo Esempi

$y = \frac{7 x}{x + 4}$ , $(3, 3)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 3$ e $y = 3$ per trovare il coefficiente angolare della linea tangente.

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Passaggio 1.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{7 x}{x + 4}$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 4}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 4}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x + 4$ .

$7 \frac{(x + 4) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$7 \frac{(x + 4) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $x + 4$ per $1$ .

$7 \frac{x + 4 - x \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$7 \frac{x + 4 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$7 \frac{x + 4 - x (1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$7 \frac{x + 4 - x (1 + 0)}{{(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6

Semplifica i termini.

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Passaggio 1.3.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$7 \frac{x + 4 - x \cdot 1}{{(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$7 \frac{x + 4 - x}{{(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6.3

Sottrai $x$ da $x$ .

$7 \frac{0 + 4}{{(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6.4

Somma $0$ e $4$ .

$7 \frac{4}{{(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6.5

$7$ e $\frac{4}{{(x + 4)}^{2}}$ .

$\frac{7 \cdot 4}{{(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6.6

Moltiplica $7$ per $4$ .

$\frac{28}{{(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.4

Calcola la derivata per $x = 3$ .

$\frac{28}{{((3) + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Somma $3$ e $4$ .

$\frac{28}{7^{2}}$

Passaggio 1.5.1.2

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$\frac{28}{49}$

Passaggio 1.5.2

Elimina il fattore comune di $28$ e $49$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Scomponi $7$ da $28$ .

$\frac{7 (4)}{49}$

Passaggio 1.5.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1

Scomponi $7$ da $49$ .

$\frac{7 \cdot 4}{7 \cdot 7}$

Passaggio 1.5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{7 \cdot 4}{7 \cdot 7}$

Passaggio 1.5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{7}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula di punto-pendenza e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Usa il coefficiente angolare $\frac{4}{7}$ e un punto dato $(3, 3)$ da inserire al posto di $x_{1}$ e $y_{1}$ nell'equazione della retta passante per due punti $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione della pendenza $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = \frac{4}{7} \cdot (x - (3))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila in forma di punto-pendenza.

$y - 3 = \frac{4}{7} \cdot (x - 3)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $\frac{4}{7} \cdot (x - 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{4}{7} \cdot (x - 3)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 3 = \frac{4}{7} \cdot (x - 3)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 3 = \frac{4}{7} x + \frac{4}{7} \cdot - 3$

Passaggio 2.3.1.4

$\frac{4}{7}$ e $x$ .

$y - 3 = \frac{4 x}{7} + \frac{4}{7} \cdot - 3$

Passaggio 2.3.1.5

Moltiplica $\frac{4}{7} \cdot - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.5.1

$\frac{4}{7}$ e $- 3$ .

$y - 3 = \frac{4 x}{7} + \frac{4 \cdot - 3}{7}$

Passaggio 2.3.1.5.2

Moltiplica $4$ per $- 3$ .

$y - 3 = \frac{4 x}{7} + \frac{- 12}{7}$

Passaggio 2.3.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y - 3 = \frac{4 x}{7} - \frac{12}{7}$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{4 x}{7} - \frac{12}{7} + 3$

Passaggio 2.3.2.2

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{7}{7}$ .

$y = \frac{4 x}{7} - \frac{12}{7} + 3 \cdot \frac{7}{7}$

Passaggio 2.3.2.3

$3$ e $\frac{7}{7}$ .

$y = \frac{4 x}{7} - \frac{12}{7} + \frac{3 \cdot 7}{7}$

Passaggio 2.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{4 x}{7} + \frac{- 12 + 3 \cdot 7}{7}$

Passaggio 2.3.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.5.1

Moltiplica $3$ per $7$ .

$y = \frac{4 x}{7} + \frac{- 12 + 21}{7}$

Passaggio 2.3.2.5.2

Somma $- 12$ e $21$ .

$y = \frac{4 x}{7} + \frac{9}{7}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i termini.

$y = \frac{4}{7} x + \frac{9}{7}$

Passaggio 3