Calcolo Esempi

$\frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

$2 \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $x^{2} + 1$ per $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7

Somma $1$ e $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 8

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$2 \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 9

$2$ e $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 10.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 10.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 10.2.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$