Calcolo Esempi

$\int_{- 3}^{3} \sqrt{9 - x^{2}} d x$

Passaggio 1

Sia $x = 3 \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = 3 \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \cos (t)$ è positivo.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 \sin (t)$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.1.3

Moltiplica $9$ per $- 1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $9$ da $9$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $9$ da $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.4

Scomponi $9$ da $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{9 \cos^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.6

Riscrivi $9 \cos^{2} (t)$ come ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 3 \cos (t) (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 9 \cos (t) \cos (t) d t$

Passaggio 2.2.2

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 9 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Passaggio 2.2.3

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 9 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Passaggio 2.2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 9 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Passaggio 2.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 9 \cos^{2} (t) d t$

Passaggio 3

Poiché $9$ è costante rispetto a $t$ , sposta $9$ fuori dall'integrale.

$9 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Passaggio 4

Usa la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (t)$ come $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$9 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$9 (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

Passaggio 6

$\frac{1}{2}$ e $9$ .

$\frac{9}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{9}{2} (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Passaggio 8

Applica la regola costante.

$\frac{9}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Passaggio 9

Sia $u = 2 t$ . Allora $d u = 2 d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 9.1

Sia $u = 2 t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 9.1.1

Differenzia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Passaggio 9.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 9.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 9.2

Sostituisci il limite inferiore a $t$ in $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Passaggio 9.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 9.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{π}{2}$ nel numeratore.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Passaggio 9.3.2

Elimina il fattore comune.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Passaggio 9.3.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{lower} = - π$

Passaggio 9.4

Sostituisci il limite superiore a $t$ in $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Passaggio 9.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 9.5.1

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Passaggio 9.5.2

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = π$

Passaggio 9.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

Passaggio 9.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{9}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 10

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Passaggio 11

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{9}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u) d u)$

Passaggio 12

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$\frac{9}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{π})$

Passaggio 13

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 13.1

Calcola $t$ per $\frac{π}{2}$ e per $- \frac{π}{2}$ .

$\frac{9}{2} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{π})$

Passaggio 13.2

Calcola $\sin (u)$ per $π$ e per $- π$ .

$\frac{9}{2} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Passaggio 13.3

Semplifica.

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Passaggio 13.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{9}{2} (\frac{π + π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Passaggio 13.3.2

Somma $π$ e $π$ .

$\frac{9}{2} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Passaggio 13.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9}{2} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Passaggio 13.3.3.2

Dividi $π$ per $1$ .

$\frac{9}{2} (π + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

$\frac{9}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (- π)))$

Passaggio 14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{9}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (0) - \sin (- π)))$

Passaggio 14.1.1.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{9}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (- π)))$

Passaggio 14.1.1.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{9}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (0)))$

Passaggio 14.1.1.4

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{9}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - 0))$

Passaggio 14.1.1.5

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{9}{2} (π + \frac{1}{2} (0 + 0))$

Passaggio 14.1.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{9}{2} (π + \frac{1}{2} \cdot 0)$

Passaggio 14.1.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $0$ .

$\frac{9}{2} (π + 0)$

Passaggio 14.2

Somma $π$ e $0$ .

$\frac{9}{2} π$

Passaggio 14.3

$\frac{9}{2}$ e $π$ .

$\frac{9 π}{2}$

Passaggio 15

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{9 π}{2}$

Forma decimale:

$14.13716694 \dots$

Passaggio 16