Calcolo Esempi

$lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{3} - x^{3}}{h}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{3} - x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{3} - lim_{h \to 0} x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Sposta l'esponente $3$ da ${(x + h)}^{3}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{3} - lim_{h \to 0} x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.1.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$\frac{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{3} - lim_{h \to 0} x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.1.4

Calcola il limite di $x$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$\frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{3} - lim_{h \to 0} x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.1.5

Calcola il limite di $x^{3}$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$\frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{3} - x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{{(x + 0)}^{3} - x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.3

Combina i termini opposti in ${(x + 0)}^{3} - x^{3}$ .

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Passaggio 1.1.2.3.1

Somma $x$ e $0$ .

$\frac{x^{3} - x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Sottrai $x^{3}$ da $x^{3}$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{3} - x^{3}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{3} - x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{3} - x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di ${(x + h)}^{3} - x^{3}$ rispetto a $h$ è $\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{3}] + \frac{d}{d h} [- x^{3}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{3}] + \frac{d}{d h} [- x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3

Calcola $\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{3}]$ .

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Passaggio 1.3.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ è $f' (g (h)) g' (h)$ dove $f (h) = h^{3}$ e $g (h) = x + h$ .

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Passaggio 1.3.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 u^{2} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(x + h)}^{2} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + h$ rispetto a $h$ è $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(x + h)}^{2} (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3.3

Poiché $x$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $x$ rispetto a $h$ è $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(x + h)}^{2} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(x + h)}^{2} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3.5

Somma $0$ e $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(x + h)}^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3.6

Moltiplica $3$ per $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(x + h)}^{2} + \frac{d}{d h} [- x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $- x^{3}$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $h$ è $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(x + h)}^{2} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.5

Somma $3 {(x + h)}^{2}$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(x + h)}^{2}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(x + h)}^{2}}{1}$

Passaggio 1.4

Dividi $3 {(x + h)}^{2}$ per $1$ .

$lim_{h \to 0} 3 {(x + h)}^{2}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$3 lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}$

Passaggio 2.2

Sposta l'esponente $2$ da ${(x + h)}^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$3 {(lim_{h \to 0} x + h)}^{2}$

Passaggio 2.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$3 {(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Passaggio 2.4

Calcola il limite di $x$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$3 {(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Passaggio 3

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$3 {(x + 0)}^{2}$

Passaggio 4

Somma $x$ e $0$ .

$3 x^{2}$