Calcolo Esempi

$\int_{4}^{9} \frac{\ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

Passaggio 1

Riscrivi $\frac{\ln (y)}{\sqrt{y}}$ come un prodotto.

$\int_{4}^{9} \ln (y) \frac{1}{\sqrt{y}} d y$

Passaggio 2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (y)$ e $d v = \frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} 2 y^{\frac{1}{2}} \frac{1}{y} d y$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

$2$ e $\frac{1}{y}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} y^{\frac{1}{2}} \frac{2}{y} d y$

Passaggio 3.2

$y^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2}{y}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{y} d y$

Passaggio 3.3

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{2 \cdot y^{\frac{1}{2}}}{y} d y$

Passaggio 3.4

Sposta $y^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{2}{y \cdot y^{- \frac{1}{2}}} d y$

Passaggio 3.5

Moltiplica $y$ per $y^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.5.1

Moltiplica $y$ per $y^{- \frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 3.5.1.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{2}{y^{1} y^{- \frac{1}{2}}} d y$

Passaggio 3.5.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{2}{y^{1 - \frac{1}{2}}} d y$

Passaggio 3.5.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{2}{y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d y$

Passaggio 3.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{2}{y^{\frac{2 - 1}{2}}} d y$

Passaggio 3.5.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{2}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

Passaggio 4

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - (2 \int_{4}^{9} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y)$

Passaggio 5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - 2 \int_{4}^{9} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

Passaggio 5.2

Sposta $y^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - 2 \int_{4}^{9} {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y$

Passaggio 5.3

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 5.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - 2 \int_{4}^{9} y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y$

Passaggio 5.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - 2 \int_{4}^{9} y^{\frac{- 1}{2}} d y$

Passaggio 5.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - 2 \int_{4}^{9} y^{- \frac{1}{2}} d y$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $y$ è $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{4}^{9})$

Passaggio 7

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 7.1

Calcola $\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})$ per $9$ e per $4$ .

$(\ln (9) (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}})) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{4}^{9})$

Passaggio 7.2

Calcola $2 y^{\frac{1}{2}}$ per $9$ e per $4$ .

$(\ln (9) (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}})) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 7.3

Semplifica.

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Passaggio 7.3.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\ln (9) (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 7.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (9) (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 7.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (9) (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 7.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (9) (2 \cdot 3^{1}) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 7.3.4

Calcola l'esponente.

$\ln (9) (2 \cdot 3) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 7.3.5

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\ln (9) \cdot 6 - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 7.3.6

Sposta $6$ alla sinistra di $\ln (9)$ .

$6 \cdot \ln (9) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 7.3.7

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$6 \ln (9) - \ln (4) (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 7.3.8

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \ln (9) - \ln (4) (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 7.3.9

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.3.9.1

Elimina il fattore comune.

$6 \ln (9) - \ln (4) (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 7.3.9.2

Riscrivi l'espressione.

$6 \ln (9) - \ln (4) (2 \cdot 2^{1}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 7.3.10

Calcola l'esponente.

$6 \ln (9) - \ln (4) (2 \cdot 2) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 7.3.11

Moltiplica $2$ per $2$ .

$6 \ln (9) - \ln (4) \cdot 4 - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 7.3.12

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 7.3.13

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 7.3.14

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 7.3.15

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.3.15.1

Elimina il fattore comune.

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 7.3.15.2

Riscrivi l'espressione.

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (2 \cdot 3^{1} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 7.3.16

Calcola l'esponente.

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (2 \cdot 3 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 7.3.17

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (6 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 7.3.18

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (6 - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 7.3.19

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (6 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

Passaggio 7.3.20

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.3.20.1

Elimina il fattore comune.

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (6 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

Passaggio 7.3.20.2

Riscrivi l'espressione.

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (6 - 2 \cdot 2^{1})$

Passaggio 7.3.21

Calcola l'esponente.

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (6 - 2 \cdot 2)$

Passaggio 7.3.22

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (6 - 4)$

Passaggio 7.3.23

Sottrai $4$ da $6$ .

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 \cdot 2$

Passaggio 7.3.24

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 4$

Passaggio 8

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.1

Riscrivi $\ln (4)$ come $\ln (2^{2})$ .

$6 \ln (9) - 4 \ln (2^{2}) - 4$

Passaggio 8.2

Espandi $\ln (2^{2})$ spostando $2$ fuori dal logaritmo.

$6 \ln (9) - 4 (2 \ln (2)) - 4$

Passaggio 8.3

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$6 \ln (9) - 8 \ln (2) - 4$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$6 \ln (9) - 8 \ln (2) - 4$

Forma decimale:

$3.63817001 \dots$