Calcolo Esempi

$\int_{0}^{27} \sqrt{3 x} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 3 x$ . Allora $d u = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = 3 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Passaggio 1.3

Moltiplica $3$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 27$

Passaggio 1.5

Moltiplica $3$ per $27$ .

$u_{upper} = 81$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 81$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{81} \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Passaggio 2

$\sqrt{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int_{0}^{81} \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{81} \sqrt{u} d u$

Passaggio 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int_{0}^{81} u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{81}$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Calcola $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ per $81$ e per $0$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 81^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Riscrivi $81$ come $9^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot {(9^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 9^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 9^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 9^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.4

Eleva $9$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 729 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.5

$\frac{2}{3}$ e $729$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 729}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.6

Moltiplica $2$ per $729$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1458}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.7

Elimina il fattore comune di $1458$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.7.1

Scomponi $3$ da $1458$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 486}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.7.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 486}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 486}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} (\frac{486}{1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.7.2.4

Dividi $486$ per $1$ .

$\frac{1}{3} (486 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.8

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\frac{1}{3} (486 - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.9

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (486 - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Passaggio 6.2.10

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.10.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} (486 - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Passaggio 6.2.10.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} (486 - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Passaggio 6.2.11

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{3} (486 - \frac{2}{3} \cdot 0)$

Passaggio 6.2.12

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$\frac{1}{3} (486 + 0 (\frac{2}{3}))$

Passaggio 6.2.13

Moltiplica $0$ per $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} (486 + 0)$

Passaggio 6.2.14

Somma $486$ e $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 486$

Passaggio 6.2.15

$\frac{1}{3}$ e $486$ .

$\frac{486}{3}$

Passaggio 6.2.16

Elimina il fattore comune di $486$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.16.1

Scomponi $3$ da $486$ .

$\frac{3 \cdot 162}{3}$

Passaggio 6.2.16.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.16.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 \cdot 162}{3 (1)}$

Passaggio 6.2.16.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 162}{3 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.16.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{162}{1}$

Passaggio 6.2.16.2.4

Dividi $162$ per $1$ .

$162$

Passaggio 7