Calcolo Esempi

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1

Riscrivi $\frac{1}{1 + x^{2}}$ come ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + x^{2}$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Passaggio 3.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 {(1 + x^{2})}^{- 2} x$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

Passaggio 4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.2.1

$- 2$ e $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

Passaggio 4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

Passaggio 4.2.3

$x$ e $\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.2.4

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$