Calcolo Esempi

$\frac{\ln (x)}{x}$

Passaggio 1

Trova gli asintoti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova dove l'espressione $\frac{\ln (x)}{x}$ è indefinita.

$x \leq 0$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{\ln (x)}{x}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $0$ da sinistra e $\frac{\ln (x)}{x}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $0$ da destra, allora $x = 0$ è un asintoto verticale.

$x = 0$

Passaggio 1.3

Ignorando il logaritmo, considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la linea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 1.4

Trova $n$ e $m$ .

$n = 0$

$m = 1$

Passaggio 1.5

Poiché $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

$y = 0$

Passaggio 1.6

Non sono presenti asintoti obliqui per le funzioni logaritmiche e trigonometriche.

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 1.7

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = 0$

Asintoti orizzontali: $y = 0$

Asintoti verticali: $x = 0$

Asintoti orizzontali: $y = 0$

Passaggio 2

Trova il punto in corrispondenza di $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = \frac{\ln (1)}{1}$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Dividi $\ln (1)$ per $1$ .

$f (1) = \ln (1)$

Passaggio 2.2.2

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$f (1) = 0$

Passaggio 2.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 2.3

Converti $0$ in decimale.

$y = 0$

Passaggio 3

Trova il punto in corrispondenza di $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = \frac{\ln (2)}{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Riscrivi $\frac{\ln (2)}{2}$ come $\frac{1}{2} \ln (2)$ .

$f (2) = \frac{1}{2} \cdot \ln (2)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica $\frac{1}{2} \ln (2)$ spostando $\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$f (2) = \ln (2^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 3.2.3

La risposta finale è $\ln (2^{\frac{1}{2}})$ .

$\ln (2^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 3.3

Converti $\ln (2^{\frac{1}{2}})$ in decimale.

$y = 0.34657359$

Passaggio 4

Trova il punto in corrispondenza di $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = \frac{\ln (3)}{3}$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Riscrivi $\frac{\ln (3)}{3}$ come $\frac{1}{3} \ln (3)$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot \ln (3)$

Passaggio 4.2.2

Semplifica $\frac{1}{3} \ln (3)$ spostando $\frac{1}{3}$ all'interno del logaritmo.

$f (3) = \ln (3^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 4.2.3

La risposta finale è $\ln (3^{\frac{1}{3}})$ .

$\ln (3^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 4.3

Converti $\ln (3^{\frac{1}{3}})$ in decimale.

$y = 0.36620409$

Passaggio 5

La funzione logaritmo può essere rappresentata graficamente utilizzando l'asintoto verticale in $x = 0$ e i punti $(1, 0), (2, 0.34657359), (3, 0.36620409)$ .

Asintoto verticale: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.347 \\ 3 & 0.366 \end{array}$

Passaggio 6