Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x)}{x}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1.2.1.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.3.1

Moltiplica $5$ per $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) (5 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $5$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \cdot 5}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.6

Sposta $5$ alla sinistra di $\cos (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{1}$

Passaggio 1.4

Dividi $5 \cos (5 x)$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} 5 \cos (5 x)$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$5 lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Passaggio 2.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$5 \cos (lim_{x \to 0} 5 x)$

Passaggio 2.3

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$5 \cos (5 lim_{x \to 0} x)$

Passaggio 3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$5 \cos (5 \cdot 0)$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $5$ per $0$ .

$5 \cos (0)$

Passaggio 4.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$5 \cdot 1$

Passaggio 4.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5$