Calcolo Esempi

$\sqrt{2 x - x^{2}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 x - x^{2}}$ come ${(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 2 x - x^{2}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Passaggio 3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Passaggio 4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Passaggio 6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Passaggio 7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Passaggio 7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Passaggio 7.3

Sposta ${(2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Passaggio 8

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 9

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 11

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - (2 x))$

Passaggio 14

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - 2 x)$

Passaggio 15

Semplifica.

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Passaggio 15.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - 2 x)$ .

$(2 - 2 x) \frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 15.2

Moltiplica $2 - 2 x$ per $\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 - 2 x}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 15.3

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 1 - 2 x}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 15.4

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- x)}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 15.5

Scomponi $2$ da $2 (1) + 2 (- x)$ .

$\frac{2 (1 - x)}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 15.6

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 15.6.1

Scomponi $2$ da $2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (1 - x)}{2 ({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 15.6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (1 - x)}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 15.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 - x}{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$