Calcolo Esempi

$2 x + y^{2} = 8$ , $x = y$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $y$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ in $2 x + y^{2} = 8$ con $y$ .

$2 (y) + y^{2} = 8$

$x = y$

Passaggio 1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Moltiplica $2$ per $y$ .

$2 y + y^{2} = 8$

$x = y$

$2 y + y^{2} = 8$

$x = y$

$2 y + y^{2} = 8$

$x = y$

Passaggio 1.2

Risolvi per $y$ in $2 y + y^{2} = 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y + y^{2} - 8 = 0$

$x = y$

Passaggio 1.2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Sia $u = y$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ con $u$ .

$2 u + u^{2} - 8 = 0$

$x = y$

Passaggio 1.2.2.2

Scomponi $2 u + u^{2} - 8$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 8$ e la cui somma è $2$ .

$- 2, 4$

$x = y$

Passaggio 1.2.2.2.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(u - 2) (u + 4) = 0$

$x = y$

$(u - 2) (u + 4) = 0$

$x = y$

Passaggio 1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$(y - 2) (y + 4) = 0$

$x = y$

$(y - 2) (y + 4) = 0$

$x = y$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$y - 2 = 0$

$y + 4 = 0$

$x = y$

Passaggio 1.2.4

Imposta $y - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Imposta $y - 2$ uguale a $0$ .

$y - 2 = 0$

$x = y$

Passaggio 1.2.4.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 2$

$x = y$

$y = 2$

$x = y$

Passaggio 1.2.5

Imposta $y + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta $y + 4$ uguale a $0$ .

$y + 4 = 0$

$x = y$

Passaggio 1.2.5.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = - 4$

$x = y$

$y = - 4$

$x = y$

Passaggio 1.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(y - 2) (y + 4) = 0$ vera.

$y = 2, - 4$

$x = y$

$y = 2, - 4$

$x = y$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ con $2$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ in $x = y$ con $2$ .

$x = 2$

$y = 2$

Passaggio 1.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

Passaggio 1.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ con $- 4$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ in $x = y$ con $- 4$ .

$x = - 4$

$y = - 4$

Passaggio 1.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Rimuovi le parentesi.

$x = - 4$

$y = - 4$

$x = - 4$

$y = - 4$

$x = - 4$

$y = - 4$

Passaggio 1.5

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(2, 2)$

$(- 4, - 4)$

$(2, 2)$

$(- 4, - 4)$

Passaggio 2

Risolvi $2 x + y^{2} = 8$ in termini di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sottrai $y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 8 - y^{2}$

Passaggio 2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 8 - y^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 8 - y^{2}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{8}{2} + \frac{- y^{2}}{2}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{8}{2} + \frac{- y^{2}}{2}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{8}{2} + \frac{- y^{2}}{2}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.1

Dividi $8$ per $2$ .

$x = 4 + \frac{- y^{2}}{2}$

Passaggio 2.2.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = 4 - \frac{y^{2}}{2}$

Passaggio 3

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{- 4}^{2} 4 - \frac{y^{2}}{2} d y - \int_{- 4}^{2} y d y$

Passaggio 4

Integra per trovare l'area tra $- 4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{- 4}^{2} 4 - \frac{y^{2}}{2} - (y) d y$

Passaggio 4.2

Moltiplica $- 1$ per $y$ .

$\int_{- 4}^{2} 4 - \frac{y^{2}}{2} - y d y$

Passaggio 4.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- 4}^{2} 4 d y + \int_{- 4}^{2} - \frac{y^{2}}{2} d y + \int_{- 4}^{2} - y d y$

Passaggio 4.4

Applica la regola costante.

$4 y]_{- 4}^{2} + \int_{- 4}^{2} - \frac{y^{2}}{2} d y + \int_{- 4}^{2} - y d y$

Passaggio 4.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$4 y]_{- 4}^{2} - \int_{- 4}^{2} \frac{y^{2}}{2} d y + \int_{- 4}^{2} - y d y$

Passaggio 4.6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$4 y]_{- 4}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{- 4}^{2} y^{2} d y) + \int_{- 4}^{2} - y d y$

Passaggio 4.7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$4 y]_{- 4}^{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{2} + \int_{- 4}^{2} - y d y$

Passaggio 4.8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$4 y]_{- 4}^{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{2} - \int_{- 4}^{2} y d y$

Passaggio 4.9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$4 y]_{- 4}^{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{2} - (\frac{1}{2} y^{2}]_{- 4}^{2})$

Passaggio 4.10

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$4 y]_{- 4}^{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{2} - (\frac{y^{2}}{2}]_{- 4}^{2})$

Passaggio 4.10.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.1

Calcola $4 y$ per $2$ e per $- 4$ .

$(4 \cdot 2) - 4 \cdot - 4 - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{2} - (\frac{y^{2}}{2}]_{- 4}^{2})$

Passaggio 4.10.2.2

Calcola $\frac{1}{3} y^{3}$ per $2$ e per $- 4$ .

$4 \cdot 2 - 4 \cdot - 4 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - (\frac{y^{2}}{2}]_{- 4}^{2})$

Passaggio 4.10.2.3

Calcola $\frac{y^{2}}{2}$ per $2$ e per $- 4$ .

$4 \cdot 2 - 4 \cdot - 4 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.4.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$8 - 4 \cdot - 4 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.2

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$8 + 16 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.3

Somma $8$ e $16$ .

$24 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$24 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.5

$\frac{1}{3}$ e $8$ .

$24 - \frac{1}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.6

Eleva $- 4$ alla potenza di $3$ .

$24 - \frac{1}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 64) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.7

Moltiplica $- 64$ per $- 1$ .

$24 - \frac{1}{2} (\frac{8}{3} + 64 (\frac{1}{3})) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.8

$64$ e $\frac{1}{3}$ .

$24 - \frac{1}{2} (\frac{8}{3} + \frac{64}{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{8 + 64}{3} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.10

Somma $8$ e $64$ .

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{72}{3} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.11

Elimina il fattore comune di $72$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.4.11.1

Scomponi $3$ da $72$ .

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.4.11.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3 (1)} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3 \cdot 1} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{24}{1} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.11.2.4

Dividi $24$ per $1$ .

$24 - \frac{1}{2} \cdot 24 - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.12

Moltiplica $24$ per $- 1$ .

$24 - 24 (\frac{1}{2}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.13

$- 24$ e $\frac{1}{2}$ .

$24 + \frac{- 24}{2} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.14

Elimina il fattore comune di $- 24$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.4.14.1

Scomponi $2$ da $- 24$ .

$24 + \frac{2 \cdot - 12}{2} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.14.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.4.14.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$24 + \frac{2 \cdot - 12}{2 (1)} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.14.2.2

Elimina il fattore comune.

$24 + \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 1} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.14.2.3

Riscrivi l'espressione.

$24 + \frac{- 12}{1} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.14.2.4

Dividi $- 12$ per $1$ .

$24 - 12 - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.15

Sottrai $12$ da $24$ .

$12 - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.16

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$12 - (\frac{4}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.17

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.4.17.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$12 - (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.17.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.4.17.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$12 - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.17.2.2

Elimina il fattore comune.

$12 - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.17.2.3

Riscrivi l'espressione.

$12 - (\frac{2}{1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.17.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$12 - (2 - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.18

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$12 - (2 - \frac{16}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.19

Elimina il fattore comune di $16$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.4.19.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$12 - (2 - \frac{2 \cdot 8}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.19.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.4.19.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$12 - (2 - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)})$

Passaggio 4.10.2.4.19.2.2

Elimina il fattore comune.

$12 - (2 - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1})$

Passaggio 4.10.2.4.19.2.3

Riscrivi l'espressione.

$12 - (2 - \frac{8}{1})$

Passaggio 4.10.2.4.19.2.4

Dividi $8$ per $1$ .

$12 - (2 - 1 \cdot 8)$

Passaggio 4.10.2.4.20

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$12 - (2 - 8)$

Passaggio 4.10.2.4.21

Sottrai $8$ da $2$ .

$12 - - 6$

Passaggio 4.10.2.4.22

Moltiplica $- 1$ per $- 6$ .

$12 + 6$

Passaggio 4.10.2.4.23

Somma $12$ e $6$ .

$18$

Passaggio 5