Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} \sqrt[3]{1 + 7 x} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 1 + 7 x$ . Allora $d u = 7 d x$ , quindi $\frac{1}{7} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 1 + 7 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $1 + 7 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 7 x]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + 7 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [7 x]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 7 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 7 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $7$ per $1$ .

$0 + 7$

Passaggio 1.1.4

Somma $0$ e $7$ .

$7$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 1 + 7 x$ .

$u_{lower} = 1 + 7 \cdot 0$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Moltiplica $7$ per $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Passaggio 1.3.2

Somma $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 1 + 7 x$ .

$u_{upper} = 1 + 7 \cdot 1$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Moltiplica $7$ per $1$ .

$u_{upper} = 1 + 7$

Passaggio 1.5.2

Somma $1$ e $7$ .

$u_{upper} = 8$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} \frac{1}{7} d u$

Passaggio 2

$\sqrt[3]{u}$ e $\frac{1}{7}$ .

$\int_{1}^{8} \frac{\sqrt[3]{u}}{7} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{7}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{7}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{7} \int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

Passaggio 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{u}$ come $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{7} \int_{1}^{8} u^{\frac{1}{3}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $u$ è $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{1}{7} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8}$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 6.1

Calcola $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ per $8$ e per $1$ .

$\frac{1}{7} ((\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 6.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 6.2.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 6.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 6.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 6.2.4

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 6.2.5

$\frac{3}{4}$ e $16$ .

$\frac{1}{7} (\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 6.2.6

Moltiplica $3$ per $16$ .

$\frac{1}{7} (\frac{48}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 6.2.7

Elimina il fattore comune di $48$ e $4$ .

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Passaggio 6.2.7.1

Scomponi $4$ da $48$ .

$\frac{1}{7} (\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 6.2.7.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.2.7.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{1}{7} (\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 6.2.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{7} (\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 6.2.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{7} (\frac{12}{1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 6.2.7.2.4

Dividi $12$ per $1$ .

$\frac{1}{7} (12 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 6.2.8

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{7} (12 - \frac{3}{4} \cdot 1)$

Passaggio 6.2.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{7} (12 - \frac{3}{4})$

Passaggio 6.2.10

Per scrivere $12$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{7} (12 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4})$

Passaggio 6.2.11

$12$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{12 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4})$

Passaggio 6.2.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{12 \cdot 4 - 3}{4}$

Passaggio 6.2.13

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.2.13.1

Moltiplica $12$ per $4$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{48 - 3}{4}$

Passaggio 6.2.13.2

Sottrai $3$ da $48$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{45}{4}$

Passaggio 6.2.14

Moltiplica $\frac{1}{7}$ per $\frac{45}{4}$ .

$\frac{45}{7 \cdot 4}$

Passaggio 6.2.15

Moltiplica $7$ per $4$ .

$\frac{45}{28}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{45}{28}$

Forma decimale:

$1.60714285 \dots$

Forma numero misto:

$1 \frac{17}{28}$

Passaggio 8