Calcolo Esempi

$f (x) = \sin^{2} (x)$ on $[0, π]$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.1.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.1.1.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x)$

Passaggio 1.1.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Riordina i fattori di $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x)$

Passaggio 1.1.1.3.2

Riordina $2 \cos (x)$ e $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x))$

Passaggio 1.1.1.3.3

Riordina $\sin (x)$ e $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Passaggio 1.1.1.3.4

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$f' (x) = \sin (2 x)$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\sin (2 x)$ .

$\sin (2 x)$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\sin (2 x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\sin (2 x) = 0$

Passaggio 1.2.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$2 x = \arcsin (0)$

Passaggio 1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$2 x = 0$

Passaggio 1.2.4

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 0$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Passaggio 1.2.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$x = 0$

Passaggio 1.2.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$2 x = π - 0$

Passaggio 1.2.6

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$2 x = π + 0$

Passaggio 1.2.6.1.2

Somma $π$ e $0$ .

$2 x = π$

Passaggio 1.2.6.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = π$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = π$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.6.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.7

Trova il periodo di $\sin (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 1.2.7.2

Sostituisci $b$ con $2$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Passaggio 1.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 1.2.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 1.2.7.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 1.2.8

Il periodo della funzione $\sin (2 x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.2.9

Consolida le risposte.

$x = \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $\sin^{2} (x)$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$\sin^{2} (0)$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$0^{2}$

Passaggio 1.4.1.2.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0$

Passaggio 1.4.2

Calcola per $x = \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci $\frac{π}{2}$ a $x$ .

$\sin^{2} (\frac{π}{2})$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$1^{2}$

Passaggio 1.4.2.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1$

Passaggio 1.4.3

Elenca tutti i punti.

$(0 + π n, 0), (\frac{π}{2} + π n, 1)$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2

Escludi i punti che non si trovano sull'intervallo.

$(\frac{π}{2}, 1)$

Passaggio 3

Usa il test della derivata prima per determinare quale punto può essere il massimo o il minimo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, π) \cup (π, \infty)$

Passaggio 3.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 2$ , dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata prima $\sin (2 x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = \sin (2 (- 2))$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f' (- 2) = \sin (- 4)$

Passaggio 3.2.2.2

Calcola $\sin (- 4)$ .

$f' (- 2) = 0.75680249$

Passaggio 3.2.2.3

La risposta finale è $0.75680249$ .

$0.75680249$

Passaggio 3.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $1$ , dell'intervallo $(0, \frac{π}{2})$ nella derivata prima $\sin (2 x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = \sin (2 (1))$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f' (1) = \sin (2)$

Passaggio 3.3.2.2

Calcola $\sin (2)$ .

$f' (1) = 0.90929742$

Passaggio 3.3.2.3

La risposta finale è $0.90929742$ .

$0.90929742$

Passaggio 3.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $2$ , dell'intervallo $(\frac{π}{2}, π)$ nella derivata prima $\sin (2 x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = \sin (2 (2))$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f' (2) = \sin (4)$

Passaggio 3.4.2.2

Calcola $\sin (4)$ .

$f' (2) = - 0.75680249$

Passaggio 3.4.2.3

La risposta finale è $- 0.75680249$ .

$- 0.75680249$

Passaggio 3.5

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $6$ , dell'intervallo $(π, \infty)$ nella derivata prima $\sin (2 x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6$ nell'espressione.

$f' (6) = \sin (2 (6))$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Moltiplica $2$ per $6$ .

$f' (6) = \sin (12)$

Passaggio 3.5.2.2

Calcola $\sin (12)$ .

$f' (6) = - 0.53657291$

Passaggio 3.5.2.3

La risposta finale è $- 0.53657291$ .

$- 0.53657291$

Passaggio 3.6

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = 0$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 3.7

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = \frac{π}{2}$ , allora $x = \frac{π}{2}$ è un massimo locale.

$x = \frac{π}{2}$ è un massimo locale

Passaggio 3.8

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = π$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 3.9

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \sin^{2} (x)$ .

$x = \frac{π}{2}$ è un massimo locale

Passaggio 4

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(\frac{π}{2}, 1)$

Nessun minimo assoluto

Passaggio 5