Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 3}$ , $- 1 \leq x \leq 2$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x^{2} + 3$ .

$\frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.4.2

Moltiplica $x^{2} + 3$ per $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.7

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.8.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.8.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x + 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} + 3 + (- 2 x - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.3.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2} - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.3.1.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.3.2

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 3 - 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.4

Riordina i termini.

$\frac{- x^{2} - 2 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.5

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.5.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ e la cui somma è $b = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.5.1.1

Scomponi $- 2$ da $- 2 x$ .

$\frac{- x^{2} - 2 (x) + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.5.1.2

Riscrivi $- 2$ come $1$ più $- 3$ .

$\frac{- x^{2} + (1 - 3) x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x^{2} + 1 x - 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.5.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{- x^{2} + x - 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.5.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.5.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{(- x^{2} + x) - 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.5.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{x (- x + 1) + 3 (- x + 1)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.5.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x + 1$ .

$\frac{(- x + 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.6

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{(- (x) + 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.7

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (- 1)) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.8

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.9

Riscrivi $- (x - 1)$ come $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{- 1 (x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$- \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$(x - 1) (x + 3) = 0$

Passaggio 1.2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Passaggio 1.2.3.2

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 1.2.3.2.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 1.2.3.3

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 1.2.3.3.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 1.2.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 1) (x + 3) = 0$ vera.

$x = 1, - 3$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $\frac{x + 1}{x^{2} + 3}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

$\frac{(1) + 1}{{(1)}^{2} + 3}$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2}{1^{2} + 3}$

Passaggio 1.4.1.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{2}{1 + 3}$

Passaggio 1.4.1.2.2.2

Somma $1$ e $3$ .

$\frac{2}{4}$

Passaggio 1.4.1.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.3.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

Passaggio 1.4.1.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.4.1.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.4.1.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2}$

Passaggio 1.4.2

Calcola per $x = - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci $- 3$ a $x$ .

$\frac{(- 3) + 1}{{(- 3)}^{2} + 3}$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Somma $- 3$ e $1$ .

$\frac{- 2}{{(- 3)}^{2} + 3}$

Passaggio 1.4.2.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.2.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- 2}{9 + 3}$

Passaggio 1.4.2.2.2.2

Somma $9$ e $3$ .

$\frac{- 2}{12}$

Passaggio 1.4.2.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.3.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.3.1.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{12}$

Passaggio 1.4.2.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 6}$

Passaggio 1.4.2.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 6}$

Passaggio 1.4.2.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{6}$

Passaggio 1.4.2.2.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{6}$

Passaggio 1.4.3

Elenca tutti i punti.

$(1, \frac{1}{2}), (- 3, - \frac{1}{6})$

Passaggio 2

Escludi i punti che non si trovano sull'intervallo.

$(1, \frac{1}{2})$

Passaggio 3

Calcola agli estremi inclusi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola per $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci $- 1$ a $x$ .

$\frac{(- 1) + 1}{{(- 1)}^{2} + 3}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{2} + 3}$

Passaggio 3.1.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{0}{1 + 3}$

Passaggio 3.1.2.2.2

Somma $1$ e $3$ .

$\frac{0}{4}$

Passaggio 3.1.2.3

Dividi $0$ per $4$ .

$0$

Passaggio 3.2

Calcola per $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci $2$ a $x$ .

$\frac{(2) + 1}{{(2)}^{2} + 3}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{3}{2^{2} + 3}$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{3}{4 + 3}$

Passaggio 3.2.2.2.2

Somma $4$ e $3$ .

$\frac{3}{7}$

Passaggio 3.3

Elenca tutti i punti.

$(- 1, 0), (2, \frac{3}{7})$

Passaggio 4

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(1, \frac{1}{2})$

Minimo assoluto: $(- 1, 0)$

Passaggio 5