Calcolo Esempi

$f (x) = x e^{\frac{x}{2}}$ , $[- 3, 1]$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{\frac{x}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}] + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$x (e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.1.3.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1

$\frac{1}{2}$ e $e^{\frac{x}{2}}$ .

$x (\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.1.3.2.2

$\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ e $x$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} \frac{d}{d x} [x] + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} \cdot 1 + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.1.3.4

Moltiplica $\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2}$ per $1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.1.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1$

Passaggio 1.1.1.3.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.1.1.3.6.1

Moltiplica $e^{\frac{x}{2}}$ per $1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.6.2

Riordina i fattori in $\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} = 0$ .

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Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $e^{\frac{x}{2}}$ da $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$ .

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Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $e^{\frac{x}{2}}$ da $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2}$ .

$e^{\frac{x}{2}} (\frac{x}{2}) + e^{\frac{x}{2}} = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Moltiplica per $1$ .

$e^{\frac{x}{2}} (\frac{x}{2}) + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1 = 0$

Passaggio 1.2.2.3

Scomponi $e^{\frac{x}{2}}$ da $e^{\frac{x}{2}} \frac{x}{2} + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1$ .

$e^{\frac{x}{2}} (\frac{x}{2} + 1) = 0$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{\frac{x}{2}} = 0$

$\frac{x}{2} + 1 = 0$

Passaggio 1.2.4

Imposta $e^{\frac{x}{2}}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.2.4.1

Imposta $e^{\frac{x}{2}}$ uguale a $0$ .

$e^{\frac{x}{2}} = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Risolvi $e^{\frac{x}{2}} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 1.2.4.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{\frac{x}{2}}) = \ln (0)$

Passaggio 1.2.4.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 1.2.4.2.3

Non c'è soluzione per $e^{\frac{x}{2}} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 1.2.5

Imposta $\frac{x}{2} + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.2.5.1

Imposta $\frac{x}{2} + 1$ uguale a $0$ .

$\frac{x}{2} + 1 = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Risolvi $\frac{x}{2} + 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 1.2.5.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{x}{2} = - 1$

Passaggio 1.2.5.2.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot - 1$

Passaggio 1.2.5.2.3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.3.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.2.5.2.3.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot - 1$

Passaggio 1.2.5.2.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 2 \cdot - 1$

Passaggio 1.2.5.2.3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.5.2.3.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x = - 2$

Passaggio 1.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $e^{\frac{x}{2}} (\frac{x}{2} + 1) = 0$ vera.

$x = - 2$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $x e^{\frac{x}{2}}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = - 2$ .

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Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $- 2$ a $x$ .

$(- 2) \cdot e^{\frac{- 2}{2}}$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1.2.1

Dividi $- 2$ per $2$ .

$- 2 \cdot e^{- 1}$

Passaggio 1.4.1.2.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \cdot \frac{1}{e}$

Passaggio 1.4.1.2.3

$- 2$ e $\frac{1}{e}$ .

$\frac{- 2}{e}$

Passaggio 1.4.1.2.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{e}$

Passaggio 1.4.2

Elenca tutti i punti.

$(- 2, - \frac{2}{e})$

Passaggio 2

Calcola agli estremi inclusi.

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Passaggio 2.1

Calcola per $x = - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci $- 3$ a $x$ .

$(- 3) \cdot e^{\frac{- 3}{2}}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 3 \cdot e^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 2.1.2.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \cdot \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.1.2.3

$- 3$ e $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 3}{e^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.1.2.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3}{e^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2

Calcola per $x = 1$ .

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Passaggio 2.2.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

$(1) \cdot e^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $e^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$e^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.3

Elenca tutti i punti.

$(- 3, - \frac{3}{e^{\frac{3}{2}}}), (1, e^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 3

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(1, e^{\frac{1}{2}})$

Minimo assoluto: $(- 2, - \frac{2}{e})$

Passaggio 4