Calcolo Esempi

$f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ on $[0, 2]$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 3 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Passaggio 1.1.1.2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.1.2.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$3 x^{2} - 3 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.1.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.1.3.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 x^{2} - 3 + 0$

Passaggio 1.1.1.3.2

Somma $3 x^{2} - 3$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} - 3$ .

$3 x^{2} - 3$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} - 3 = 0$ .

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Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} - 3 = 0$

Passaggio 1.2.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} = 3$

Passaggio 1.2.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = 3$ e semplifica.

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Passaggio 1.2.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = 3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{3}$

Passaggio 1.2.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.3.3.1

Dividi $3$ per $3$ .

$x^{2} = 1$

Passaggio 1.2.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 1.2.5

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm 1$

Passaggio 1.2.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 1.2.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 1$

Passaggio 1.2.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 1$

Passaggio 1.2.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - 1$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $x^{3} - 3 x + 1$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

${(1)}^{3} - 3 \cdot 1 + 1$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 - 3 \cdot 1 + 1$

Passaggio 1.4.1.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$1 - 3 + 1$

Passaggio 1.4.1.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.2.1

Sottrai $3$ da $1$ .

$- 2 + 1$

Passaggio 1.4.1.2.2.2

Somma $- 2$ e $1$ .

$- 1$

Passaggio 1.4.2

Calcola per $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci $- 1$ a $x$ .

${(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1 + 1$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- 1 - 3 \cdot - 1 + 1$

Passaggio 1.4.2.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$- 1 + 3 + 1$

Passaggio 1.4.2.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.2.1

Somma $- 1$ e $3$ .

$2 + 1$

Passaggio 1.4.2.2.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$3$

Passaggio 1.4.3

Elenca tutti i punti.

$(1, - 1), (- 1, 3)$

Passaggio 2

Escludi i punti che non si trovano sull'intervallo.

$(1, - 1)$

Passaggio 3

Usa il test della derivata prima per determinare quale punto può essere il massimo o il minimo.

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Passaggio 3.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 3.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 4$ , dell'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata prima $3 x^{2} - 3$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

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Passaggio 3.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f' (- 4) = 3 {(- 4)}^{2} - 3$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 4) = 3 \cdot 16 - 3$

Passaggio 3.2.2.1.2

Moltiplica $3$ per $16$ .

$f' (- 4) = 48 - 3$

Passaggio 3.2.2.2

Sottrai $3$ da $48$ .

$f' (- 4) = 45$

Passaggio 3.2.2.3

La risposta finale è $45$ .

$45$

Passaggio 3.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0$ , dell'intervallo $(- 1, 1)$ nella derivata prima $3 x^{2} - 3$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

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Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} - 3$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = 3 \cdot 0 - 3$

Passaggio 3.3.2.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f' (0) = 0 - 3$

Passaggio 3.3.2.2

Sottrai $3$ da $0$ .

$f' (0) = - 3$

Passaggio 3.3.2.3

La risposta finale è $- 3$ .

$- 3$

Passaggio 3.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $4$ , dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata prima $3 x^{2} - 3$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f' (4) = 3 {(4)}^{2} - 3$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f' (4) = 3 \cdot 16 - 3$

Passaggio 3.4.2.1.2

Moltiplica $3$ per $16$ .

$f' (4) = 48 - 3$

Passaggio 3.4.2.2

Sottrai $3$ da $48$ .

$f' (4) = 45$

Passaggio 3.4.2.3

La risposta finale è $45$ .

$45$

Passaggio 3.5

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = - 1$ , allora $x = - 1$ è un massimo locale.

$x = - 1$ è un massimo locale

Passaggio 3.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = 1$ , allora $x = 1$ è un minimo locale.

$x = 1$ è un minimo locale

Passaggio 3.7

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ .

$x = - 1$ è un massimo locale

$x = 1$ è un minimo locale

$x = - 1$ è un massimo locale

$x = 1$ è un minimo locale

Passaggio 4

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Nessun massimo assoluto

Minimo assoluto: $(1, - 1)$

Passaggio 5