Calcolo Esempi

Trovare il Max e Min Assoluto nell''Intervallo f(x)=-x^4+8x^2-8
Passaggio 1
Trova la derivata prima della funzione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.2
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.2.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 1.2.3
Moltiplica per .
Passaggio 1.3
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.3.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.3.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 1.3.3
Moltiplica per .
Passaggio 1.4
Differenzia usando la regola della costante.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.4.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.4.2
Somma e .
Passaggio 2
Trova la derivata seconda della funzione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.2
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.2.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 2.2.3
Moltiplica per .
Passaggio 2.3
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.3.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.3.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 2.3.3
Moltiplica per .
Passaggio 3
Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a e risolvi.
Passaggio 4
Trova la derivata prima.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1
Trova la derivata prima.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 4.1.2
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 4.1.2.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 4.1.2.3
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.3
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.3.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 4.1.3.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 4.1.3.3
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.4
Differenzia usando la regola della costante.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.4.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 4.1.4.2
Somma e .
Passaggio 4.2
La derivata prima di rispetto a è .
Passaggio 5
Poni la derivata prima uguale a quindi risolvi l'equazione .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.1
Poni la derivata prima uguale a .
Passaggio 5.2
Scomponi il primo membro dell'equazione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.2.1
Scomponi da .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.2.1.1
Scomponi da .
Passaggio 5.2.1.2
Scomponi da .
Passaggio 5.2.1.3
Scomponi da .
Passaggio 5.2.2
Riscrivi come .
Passaggio 5.2.3
Scomponi.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.2.3.1
Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, dove e .
Passaggio 5.2.3.2
Rimuovi le parentesi non necessarie.
Passaggio 5.3
Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a , l'intera espressione sarà uguale a .
Passaggio 5.4
Imposta uguale a .
Passaggio 5.5
Imposta uguale a e risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.5.1
Imposta uguale a .
Passaggio 5.5.2
Sottrai da entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 5.6
Imposta uguale a e risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.6.1
Imposta uguale a .
Passaggio 5.6.2
Somma a entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 5.7
La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono vera.
Passaggio 6
Trova i valori per cui la derivata è indefinita.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.1
Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.
Passaggio 7
Punti critici da calcolare.
Passaggio 8
Calcola la derivata seconda per . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.
Passaggio 9
Calcola la derivata seconda.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.1.1
Elevando a qualsiasi potenza positiva si ottiene .
Passaggio 9.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 9.2
Somma e .
Passaggio 10
è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.
è un minimo locale
Passaggio 11
Trova il valore di y quando .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 11.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 11.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 11.2.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 11.2.1.1
Elevando a qualsiasi potenza positiva si ottiene .
Passaggio 11.2.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 11.2.1.3
Elevando a qualsiasi potenza positiva si ottiene .
Passaggio 11.2.1.4
Moltiplica per .
Passaggio 11.2.2
Semplifica aggiungendo e sottraendo.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 11.2.2.1
Somma e .
Passaggio 11.2.2.2
Sottrai da .
Passaggio 11.2.3
La risposta finale è .
Passaggio 12
Calcola la derivata seconda per . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.
Passaggio 13
Calcola la derivata seconda.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 13.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 13.1.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 13.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 13.2
Somma e .
Passaggio 14
è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.
è un massimo locale
Passaggio 15
Trova il valore di y quando .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 15.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 15.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 15.2.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 15.2.1.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 15.2.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 15.2.1.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 15.2.1.4
Moltiplica per .
Passaggio 15.2.2
Semplifica aggiungendo e sottraendo.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 15.2.2.1
Somma e .
Passaggio 15.2.2.2
Sottrai da .
Passaggio 15.2.3
La risposta finale è .
Passaggio 16
Calcola la derivata seconda per . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.
Passaggio 17
Calcola la derivata seconda.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 17.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 17.1.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 17.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 17.2
Somma e .
Passaggio 18
è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.
è un massimo locale
Passaggio 19
Trova il valore di y quando .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 19.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 19.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 19.2.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 19.2.1.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 19.2.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 19.2.1.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 19.2.1.4
Moltiplica per .
Passaggio 19.2.2
Semplifica aggiungendo e sottraendo.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 19.2.2.1
Somma e .
Passaggio 19.2.2.2
Sottrai da .
Passaggio 19.2.3
La risposta finale è .
Passaggio 20
Questi sono gli estremi locali per .
è un minimo locale
è un massimo locale
è un massimo locale
Passaggio 21