Calcolo Esempi

Trovare il Max e Min Assoluto nell''Intervallo -3x^4-8x^3-6x^2+1
Passaggio 1
Trova la derivata prima della funzione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.2
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.2.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 1.2.3
Moltiplica per .
Passaggio 1.3
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.3.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.3.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 1.3.3
Moltiplica per .
Passaggio 1.4
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.4.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.4.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 1.4.3
Moltiplica per .
Passaggio 1.5
Differenzia usando la regola della costante.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.5.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.5.2
Somma e .
Passaggio 2
Trova la derivata seconda della funzione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.2
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.2.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 2.2.3
Moltiplica per .
Passaggio 2.3
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.3.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.3.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 2.3.3
Moltiplica per .
Passaggio 2.4
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.4.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.4.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 2.4.3
Moltiplica per .
Passaggio 3
Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a e risolvi.
Passaggio 4
Trova la derivata prima.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1
Trova la derivata prima.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 4.1.2
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 4.1.2.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 4.1.2.3
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.3
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.3.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 4.1.3.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 4.1.3.3
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.4
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.4.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 4.1.4.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 4.1.4.3
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.5
Differenzia usando la regola della costante.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.5.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 4.1.5.2
Somma e .
Passaggio 4.2
La derivata prima di rispetto a è .
Passaggio 5
Poni la derivata prima uguale a quindi risolvi l'equazione .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.1
Poni la derivata prima uguale a .
Passaggio 5.2
Scomponi il primo membro dell'equazione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.2.1
Scomponi da .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.2.1.1
Scomponi da .
Passaggio 5.2.1.2
Scomponi da .
Passaggio 5.2.1.3
Scomponi da .
Passaggio 5.2.1.4
Scomponi da .
Passaggio 5.2.1.5
Scomponi da .
Passaggio 5.2.2
Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.2.2.1
Riscrivi come .
Passaggio 5.2.2.2
Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.
Passaggio 5.2.2.3
Riscrivi il polinomio.
Passaggio 5.2.2.4
Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato , dove e .
Passaggio 5.3
Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a , l'intera espressione sarà uguale a .
Passaggio 5.4
Imposta uguale a .
Passaggio 5.5
Imposta uguale a e risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.5.1
Imposta uguale a .
Passaggio 5.5.2
Risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.5.2.1
Poni uguale a .
Passaggio 5.5.2.2
Sottrai da entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 5.6
La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono vera.
Passaggio 6
Trova i valori per cui la derivata è indefinita.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.1
Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.
Passaggio 7
Punti critici da calcolare.
Passaggio 8
Calcola la derivata seconda per . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.
Passaggio 9
Calcola la derivata seconda.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.1.1
Elevando a qualsiasi potenza positiva si ottiene .
Passaggio 9.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 9.1.3
Moltiplica per .
Passaggio 9.2
Semplifica aggiungendo e sottraendo.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.2.1
Somma e .
Passaggio 9.2.2
Sottrai da .
Passaggio 10
è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.
è un massimo locale
Passaggio 11
Trova il valore di y quando .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 11.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 11.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 11.2.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 11.2.1.1
Elevando a qualsiasi potenza positiva si ottiene .
Passaggio 11.2.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 11.2.1.3
Elevando a qualsiasi potenza positiva si ottiene .
Passaggio 11.2.1.4
Moltiplica per .
Passaggio 11.2.1.5
Elevando a qualsiasi potenza positiva si ottiene .
Passaggio 11.2.1.6
Moltiplica per .
Passaggio 11.2.2
Semplifica aggiungendo i numeri.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 11.2.2.1
Somma e .
Passaggio 11.2.2.2
Somma e .
Passaggio 11.2.2.3
Somma e .
Passaggio 11.2.3
La risposta finale è .
Passaggio 12
Calcola la derivata seconda per . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.
Passaggio 13
Calcola la derivata seconda.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 13.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 13.1.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 13.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 13.1.3
Moltiplica per .
Passaggio 13.2
Semplifica aggiungendo e sottraendo.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 13.2.1
Somma e .
Passaggio 13.2.2
Sottrai da .
Passaggio 14
Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda o indefinita, applica il test della derivata prima.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 14.1
Dividi in intervalli separati intorno ai valori che rendono la derivata prima o indefinita.
Passaggio 14.2
Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio , dell'intervallo nella derivata prima per controllare se il risultato è negativo o positivo.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 14.2.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 14.2.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 14.2.2.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 14.2.2.1.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 14.2.2.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 14.2.2.1.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 14.2.2.1.4
Moltiplica per .
Passaggio 14.2.2.1.5
Moltiplica per .
Passaggio 14.2.2.2
Semplifica aggiungendo e sottraendo.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 14.2.2.2.1
Sottrai da .
Passaggio 14.2.2.2.2
Somma e .
Passaggio 14.2.2.3
La risposta finale è .
Passaggio 14.3
Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio , dell'intervallo nella derivata prima per controllare se il risultato è negativo o positivo.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 14.3.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 14.3.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 14.3.2.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 14.3.2.1.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 14.3.2.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 14.3.2.1.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 14.3.2.1.4
Moltiplica per .
Passaggio 14.3.2.1.5
Moltiplica per .
Passaggio 14.3.2.2
Semplifica aggiungendo e sottraendo.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 14.3.2.2.1
Sottrai da .
Passaggio 14.3.2.2.2
Somma e .
Passaggio 14.3.2.3
La risposta finale è .
Passaggio 14.4
Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio , dell'intervallo nella derivata prima per controllare se il risultato è negativo o positivo.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 14.4.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 14.4.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 14.4.2.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 14.4.2.1.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 14.4.2.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 14.4.2.1.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 14.4.2.1.4
Moltiplica per .
Passaggio 14.4.2.1.5
Moltiplica per .
Passaggio 14.4.2.2
Semplifica sottraendo i numeri.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 14.4.2.2.1
Sottrai da .
Passaggio 14.4.2.2.2
Sottrai da .
Passaggio 14.4.2.3
La risposta finale è .
Passaggio 14.5
Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.
Non è un minimo o un massimo locale
Passaggio 14.6
Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a , allora è un massimo locale.
è un massimo locale
è un massimo locale
Passaggio 15