Calcolo Esempi

$f (x) = {(x^{2} - 4)}^{2}$ on $- 2$ , $2$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

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Passaggio 1.1.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Passaggio 1.1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Passaggio 1.1.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 4$ .

$2 (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$2 (x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (x^{2} - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])$

Passaggio 1.1.1.2.3

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 (x^{2} - 4) (2 x + 0)$

Passaggio 1.1.1.2.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.1.1.2.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 (x^{2} - 4) (2 x)$

Passaggio 1.1.1.2.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 (x^{2} - 4) x$

Passaggio 1.1.1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$(4 x^{2} + 4 \cdot - 4) x$

Passaggio 1.1.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} x + 4 \cdot - 4 x$

Passaggio 1.1.1.3.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.3.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 (x^{1} x^{2}) + 4 \cdot - 4 x$

Passaggio 1.1.1.3.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 x^{1 + 2} + 4 \cdot - 4 x$

Passaggio 1.1.1.3.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$4 x^{3} + 4 \cdot - 4 x$

Passaggio 1.1.1.3.3.4

Moltiplica $4$ per $- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 16 x$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 x^{3} - 16 x$ .

$4 x^{3} - 16 x$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 x^{3} - 16 x = 0$ .

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Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$4 x^{3} - 16 x = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $4 x$ da $4 x^{3} - 16 x$ .

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Passaggio 1.2.2.1.1

Scomponi $4 x$ da $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 16 x = 0$

Passaggio 1.2.2.1.2

Scomponi $4 x$ da $- 16 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 4) = 0$

Passaggio 1.2.2.1.3

Scomponi $4 x$ da $4 x (x^{2}) + 4 x (- 4)$ .

$4 x (x^{2} - 4) = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Passaggio 1.2.2.3

Scomponi.

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Passaggio 1.2.2.3.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$4 x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Passaggio 1.2.2.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$4 x (x + 2) (x - 2) = 0$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 1.2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.2.5

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.2.5.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 1.2.6

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.2.6.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 1.2.6.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 1.2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 x (x + 2) (x - 2) = 0$ vera.

$x = 0, - 2, 2$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi ${(x^{2} - 4)}^{2}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = 0$ .

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Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

${({(0)}^{2} - 4)}^{2}$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

${(0 - 4)}^{2}$

Passaggio 1.4.1.2.2

Sottrai $4$ da $0$ .

${(- 4)}^{2}$

Passaggio 1.4.1.2.3

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$16$

Passaggio 1.4.2

Calcola per $x = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci $- 2$ a $x$ .

${({(- 2)}^{2} - 4)}^{2}$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

${(4 - 4)}^{2}$

Passaggio 1.4.2.2.2

Sottrai $4$ da $4$ .

$0^{2}$

Passaggio 1.4.2.2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0$

Passaggio 1.4.3

Calcola per $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Sostituisci $2$ a $x$ .

${({(2)}^{2} - 4)}^{2}$

Passaggio 1.4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

${(4 - 4)}^{2}$

Passaggio 1.4.3.2.2

Sottrai $4$ da $4$ .

$0^{2}$

Passaggio 1.4.3.2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0$

Passaggio 1.4.4

Elenca tutti i punti.

$(0, 16), (- 2, 0), (2, 0)$

Passaggio 2

Calcola agli estremi inclusi.

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Passaggio 2.1

Calcola per $x = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci $- 2$ a $x$ .

${({(- 2)}^{2} - 4)}^{2}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

${(4 - 4)}^{2}$

Passaggio 2.1.2.2

Sottrai $4$ da $4$ .

$0^{2}$

Passaggio 2.1.2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0$

Passaggio 2.2

Calcola per $x = 2$ .

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Passaggio 2.2.1

Sostituisci $2$ a $x$ .

${({(2)}^{2} - 4)}^{2}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

${(4 - 4)}^{2}$

Passaggio 2.2.2.2

Sottrai $4$ da $4$ .

$0^{2}$

Passaggio 2.2.2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0$

Passaggio 2.3

Elenca tutti i punti.

$(- 2, 0), (2, 0)$

Passaggio 3

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(0, 16)$

Minimo assoluto: $(- 2, 0), (2, 0)$

Passaggio 4