Calcolo Esempi

Trovare il Max e Min Assoluto nell''Intervallo f(x)=5sin(x)^2 on [0,pi]
on
Passaggio 1
Trova i punti critici.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1
Trova la derivata prima.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.1
Trova la derivata prima.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.1.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.1.1.2
Differenzia usando la regola della catena secondo cui è dove e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.1.2.1
Per applicare la regola della catena, imposta come .
Passaggio 1.1.1.2.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 1.1.1.2.3
Sostituisci tutte le occorrenze di con .
Passaggio 1.1.1.3
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.1.4
La derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.1.1.5
Riordina i fattori di .
Passaggio 1.1.2
La derivata prima di rispetto a è .
Passaggio 1.2
Poni la derivata prima uguale a quindi risolvi l'equazione .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.1
Poni la derivata prima uguale a .
Passaggio 1.2.2
Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a , l'intera espressione sarà uguale a .
Passaggio 1.2.3
Imposta uguale a e risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.3.1
Imposta uguale a .
Passaggio 1.2.3.2
Risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.3.2.1
Trova il valore dell'incognita corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.
Passaggio 1.2.3.2.2
Semplifica il lato destro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.3.2.2.1
Il valore esatto di è .
Passaggio 1.2.3.2.3
La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da per trovare la soluzione nel quarto quadrante.
Passaggio 1.2.3.2.4
Semplifica .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.3.2.4.1
Per scrivere come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per .
Passaggio 1.2.3.2.4.2
Riduci le frazioni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.3.2.4.2.1
e .
Passaggio 1.2.3.2.4.2.2
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 1.2.3.2.4.3
Semplifica il numeratore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.3.2.4.3.1
Moltiplica per .
Passaggio 1.2.3.2.4.3.2
Sottrai da .
Passaggio 1.2.3.2.5
Trova il periodo di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.3.2.5.1
Si può calcolare il periodo della funzione usando .
Passaggio 1.2.3.2.5.2
Sostituisci con nella formula per il periodo.
Passaggio 1.2.3.2.5.3
Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra e è .
Passaggio 1.2.3.2.5.4
Dividi per .
Passaggio 1.2.3.2.6
Il periodo della funzione è , quindi i valori si ripetono ogni radianti in entrambe le direzioni.
, per qualsiasi intero
, per qualsiasi intero
, per qualsiasi intero
Passaggio 1.2.4
Imposta uguale a e risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.4.1
Imposta uguale a .
Passaggio 1.2.4.2
Risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.4.2.1
Trova il valore dell'incognita corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.
Passaggio 1.2.4.2.2
Semplifica il lato destro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.4.2.2.1
Il valore esatto di è .
Passaggio 1.2.4.2.3
La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da per trovare la soluzione nel secondo quadrante.
Passaggio 1.2.4.2.4
Sottrai da .
Passaggio 1.2.4.2.5
Trova il periodo di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.4.2.5.1
Si può calcolare il periodo della funzione usando .
Passaggio 1.2.4.2.5.2
Sostituisci con nella formula per il periodo.
Passaggio 1.2.4.2.5.3
Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra e è .
Passaggio 1.2.4.2.5.4
Dividi per .
Passaggio 1.2.4.2.6
Il periodo della funzione è , quindi i valori si ripetono ogni radianti in entrambe le direzioni.
, per qualsiasi intero
, per qualsiasi intero
, per qualsiasi intero
Passaggio 1.2.5
La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono vera.
, per qualsiasi intero
Passaggio 1.2.6
Consolida le risposte.
, per qualsiasi intero
, per qualsiasi intero
Passaggio 1.3
Trova i valori per cui la derivata è indefinita.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.3.1
Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.
Passaggio 1.4
Risolvi per ciascun valore di dove la derivata è o indefinita.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.4.1
Calcola per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.4.1.1
Sostituisci a .
Passaggio 1.4.1.2
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.4.1.2.1
Il valore esatto di è .
Passaggio 1.4.1.2.2
Elevando a qualsiasi potenza positiva si ottiene .
Passaggio 1.4.1.2.3
Moltiplica per .
Passaggio 1.4.2
Calcola per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.4.2.1
Sostituisci a .
Passaggio 1.4.2.2
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.4.2.2.1
Il valore esatto di è .
Passaggio 1.4.2.2.2
Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.
Passaggio 1.4.2.2.3
Moltiplica per .
Passaggio 1.4.3
Elenca tutti i punti.
, per qualsiasi intero
, per qualsiasi intero
, per qualsiasi intero
Passaggio 2
Escludi i punti che non si trovano sull'intervallo.
Passaggio 3
Usa il test della derivata prima per determinare quale punto può essere il massimo o il minimo.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 3.1
Dividi in intervalli separati intorno ai valori che rendono la derivata prima o indefinita.
Passaggio 3.2
Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio , dell'intervallo nella derivata prima per controllare se il risultato è negativo o positivo.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 3.2.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 3.2.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 3.2.2.1
Calcola .
Passaggio 3.2.2.2
Moltiplica per .
Passaggio 3.2.2.3
Calcola .
Passaggio 3.2.2.4
Moltiplica per .
Passaggio 3.2.2.5
La risposta finale è .
Passaggio 3.3
Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio , dell'intervallo nella derivata prima per controllare se il risultato è negativo o positivo.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 3.3.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 3.3.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 3.3.2.1
Calcola .
Passaggio 3.3.2.2
Moltiplica per .
Passaggio 3.3.2.3
Calcola .
Passaggio 3.3.2.4
Moltiplica per .
Passaggio 3.3.2.5
La risposta finale è .
Passaggio 3.4
Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio , dell'intervallo nella derivata prima per controllare se il risultato è negativo o positivo.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 3.4.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 3.4.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 3.4.2.1
Calcola .
Passaggio 3.4.2.2
Moltiplica per .
Passaggio 3.4.2.3
Calcola .
Passaggio 3.4.2.4
Moltiplica per .
Passaggio 3.4.2.5
La risposta finale è .
Passaggio 3.5
Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio , dell'intervallo nella derivata prima per controllare se il risultato è negativo o positivo.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 3.5.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 3.5.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 3.5.2.1
Calcola .
Passaggio 3.5.2.2
Moltiplica per .
Passaggio 3.5.2.3
Calcola .
Passaggio 3.5.2.4
Moltiplica per .
Passaggio 3.5.2.5
La risposta finale è .
Passaggio 3.6
Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.
Non è un minimo o un massimo locale
Passaggio 3.7
Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a , allora è un massimo locale.
è un massimo locale
Passaggio 3.8
Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.
Non è un minimo o un massimo locale
Passaggio 3.9
Questi sono gli estremi locali per .
è un massimo locale
è un massimo locale
Passaggio 4
Confronta i valori trovati per ciascun valore di per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore più basso.
Massimo assoluto:
Nessun minimo assoluto
Passaggio 5