Calcolo Esempi

$f (x) = \cos (x)$ , $[π, 3 π]$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$f' (x) = - \sin (x)$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \sin (x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \sin (x) = 0$

Passaggio 1.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \sin (x) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \sin (x) = 0$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 1.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 1.2.2.2.2

Dividi $\sin (x)$ per $1$ .

$\sin (x) = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 1.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1

Dividi $0$ per $- 1$ .

$\sin (x) = 0$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (0)$

Passaggio 1.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.2.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - 0$

Passaggio 1.2.6

Sottrai $0$ da $π$ .

$x = π$

Passaggio 1.2.7

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

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Passaggio 1.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 1.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 1.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 1.2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 1.2.8

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.2.9

Consolida le risposte.

$x = π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $\cos (x)$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$\cos (0)$

Passaggio 1.4.1.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$1$

Passaggio 1.4.2

Calcola per $x = π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci $π$ a $x$ .

$\cos (π)$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$- \cos (0)$

Passaggio 1.4.2.2.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 1.4.2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 1.4.3

Elenca tutti i punti.

$(0 + 2 π n, 1), (π + 2 π n, - 1)$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2

Escludi i punti che non si trovano sull'intervallo.

$(2 π, 1), (π, - 1), (3 π, - 1)$

Passaggio 3

Calcola agli estremi inclusi.

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Passaggio 3.1

Calcola per $x = π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci $π$ a $x$ .

$\cos (π)$

Passaggio 3.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$- \cos (0)$

Passaggio 3.1.2.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 3.1.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 3.2

Calcola per $x = 3 π$ .

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Passaggio 3.2.1

Sostituisci $3 π$ a $x$ .

$\cos (3 π)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\cos (π)$

Passaggio 3.2.2.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$- \cos (0)$

Passaggio 3.2.2.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 3.2.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 3.3

Elenca tutti i punti.

$(π, - 1), (3 π, - 1)$

Passaggio 4

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(2 π, 1)$

Minimo assoluto: $(π, - 1), (3 π, - 1)$

Passaggio 5