Calcolo Esempi

Trovare il Max e Min Assoluto nell''Intervallo f(x)=( logaritmo naturale di x)/(x^2)
Passaggio 1
Trova la derivata prima della funzione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1
Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui è dove e .
Passaggio 1.2
Moltiplica gli esponenti in .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.1
Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 1.2.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.3
La derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.4
Differenzia usando la regola della potenza.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.4.1
e .
Passaggio 1.4.2
Elimina il fattore comune di e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.4.2.1
Scomponi da .
Passaggio 1.4.2.2
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.4.2.2.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 1.4.2.2.2
Scomponi da .
Passaggio 1.4.2.2.3
Elimina il fattore comune.
Passaggio 1.4.2.2.4
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 1.4.2.2.5
Dividi per .
Passaggio 1.4.3
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 1.4.4
Semplifica tramite esclusione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.4.4.1
Moltiplica per .
Passaggio 1.4.4.2
Scomponi da .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.4.4.2.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 1.4.4.2.2
Scomponi da .
Passaggio 1.4.4.2.3
Scomponi da .
Passaggio 1.4.4.2.4
Scomponi da .
Passaggio 1.5
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.5.1
Scomponi da .
Passaggio 1.5.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 1.5.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 1.6
Semplifica spostando all'interno del logaritmo.
Passaggio 2
Trova la derivata seconda della funzione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1
Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui è dove e .
Passaggio 2.2
Differenzia.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.1
Moltiplica gli esponenti in .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.1.1
Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 2.2.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 2.2.2
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.2.3
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.2.4
Somma e .
Passaggio 2.2.5
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.3
Differenzia usando la regola della catena secondo cui è dove e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.3.1
Per applicare la regola della catena, imposta come .
Passaggio 2.3.2
La derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.3.3
Sostituisci tutte le occorrenze di con .
Passaggio 2.4
Differenzia usando la regola della potenza.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.4.1
e .
Passaggio 2.4.2
Elimina il fattore comune di e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.4.2.1
Scomponi da .
Passaggio 2.4.2.2
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.4.2.2.1
Moltiplica per .
Passaggio 2.4.2.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 2.4.2.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 2.4.2.2.4
Dividi per .
Passaggio 2.4.3
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 2.4.4
Moltiplica per .
Passaggio 2.5
Eleva alla potenza di .
Passaggio 2.6
Eleva alla potenza di .
Passaggio 2.7
Usa la regola della potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 2.8
Somma e .
Passaggio 2.9
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 2.10
Semplifica tramite esclusione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.10.1
Moltiplica per .
Passaggio 2.10.2
Scomponi da .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.10.2.1
Scomponi da .
Passaggio 2.10.2.2
Scomponi da .
Passaggio 2.10.2.3
Scomponi da .
Passaggio 2.11
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.11.1
Scomponi da .
Passaggio 2.11.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 2.11.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 2.12
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.12.1
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 2.12.2
Semplifica il numeratore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.12.2.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.12.2.1.1
Moltiplica per .
Passaggio 2.12.2.1.2
Moltiplica .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.12.2.1.2.1
Moltiplica per .
Passaggio 2.12.2.1.2.2
Semplifica spostando all'interno del logaritmo.
Passaggio 2.12.2.1.3
Moltiplica gli esponenti in .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.12.2.1.3.1
Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 2.12.2.1.3.2
Moltiplica per .
Passaggio 2.12.2.2
Sottrai da .
Passaggio 2.12.3
Riscrivi come .
Passaggio 2.12.4
Scomponi da .
Passaggio 2.12.5
Scomponi da .
Passaggio 2.12.6
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 3
Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a e risolvi.
Passaggio 4
Trova la derivata prima.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1
Trova la derivata prima.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.1
Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui è dove e .
Passaggio 4.1.2
Moltiplica gli esponenti in .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.2.1
Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 4.1.2.2
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.3
La derivata di rispetto a è .
Passaggio 4.1.4
Differenzia usando la regola della potenza.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.4.1
e .
Passaggio 4.1.4.2
Elimina il fattore comune di e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.4.2.1
Scomponi da .
Passaggio 4.1.4.2.2
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.4.2.2.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 4.1.4.2.2.2
Scomponi da .
Passaggio 4.1.4.2.2.3
Elimina il fattore comune.
Passaggio 4.1.4.2.2.4
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 4.1.4.2.2.5
Dividi per .
Passaggio 4.1.4.3
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 4.1.4.4
Semplifica tramite esclusione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.4.4.1
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.4.4.2
Scomponi da .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.4.4.2.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 4.1.4.4.2.2
Scomponi da .
Passaggio 4.1.4.4.2.3
Scomponi da .
Passaggio 4.1.4.4.2.4
Scomponi da .
Passaggio 4.1.5
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.5.1
Scomponi da .
Passaggio 4.1.5.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 4.1.5.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 4.1.6
Semplifica spostando all'interno del logaritmo.
Passaggio 4.2
La derivata prima di rispetto a è .
Passaggio 5
Poni la derivata prima uguale a quindi risolvi l'equazione .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.1
Poni la derivata prima uguale a .
Passaggio 5.2
Poni il numeratore uguale a zero.
Passaggio 5.3
Risolvi l'equazione per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.1
Sottrai da entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 5.3.2
Dividi per ciascun termine in e semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.2.1
Dividi per ciascun termine in .
Passaggio 5.3.2.2
Semplifica il lato sinistro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.2.2.1
Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.
Passaggio 5.3.2.2.2
Dividi per .
Passaggio 5.3.2.3
Semplifica il lato destro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.2.3.1
Dividi per .
Passaggio 5.3.3
Per risolvere per , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.
Passaggio 5.3.4
Riscrivi in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se e sono numeri reali positivi e , allora è equivalente a .
Passaggio 5.3.5
Risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.5.1
Riscrivi l'equazione come .
Passaggio 5.3.5.2
Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.
Passaggio 5.3.5.3
Semplifica.
Passaggio 5.3.5.4
La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.5.4.1
Per prima cosa, usa il valore positivo di per trovare la prima soluzione.
Passaggio 5.3.5.4.2
Ora, usa il valore negativo del per trovare la seconda soluzione.
Passaggio 5.3.5.4.3
La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.
Passaggio 6
Trova i valori per cui la derivata è indefinita.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.1
Imposta il denominatore in in modo che sia uguale a per individuare dove l'espressione è indefinita.
Passaggio 6.2
Risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.2.1
Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.
Passaggio 6.2.2
Semplifica .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.2.2.1
Riscrivi come .
Passaggio 6.2.2.2
Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.
Passaggio 6.3
Imposta l'argomento in in modo che sia minore o uguale a per individuare dove l'espressione è definita.
Passaggio 6.4
Risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.4.1
Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati della diseguaglianza per eliminare l'esponente sul lato sinistro.
Passaggio 6.4.2
Semplifica l'equazione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.4.2.1
Semplifica il lato sinistro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.4.2.1.1
Estrai i termini dal radicale.
Passaggio 6.4.2.2
Semplifica il lato destro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.4.2.2.1
Semplifica .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.4.2.2.1.1
Riscrivi come .
Passaggio 6.4.2.2.1.2
Estrai i termini dal radicale.
Passaggio 6.4.2.2.1.3
Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra e è .
Passaggio 6.4.3
Scrivi a tratti.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.4.3.1
Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.
Passaggio 6.4.3.2
Nella parte in cui è non negativo, rimuovi il valore assoluto.
Passaggio 6.4.3.3
Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.
Passaggio 6.4.3.4
Nella parte in cui è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per .
Passaggio 6.4.3.5
Scrivi a tratti.
Passaggio 6.4.4
Trova l'intersezione di e .
Passaggio 6.4.5
Risolvi dove .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.4.5.1
Dividi per ciascun termine in e semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.4.5.1.1
Dividi per ciascun termine in . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.
Passaggio 6.4.5.1.2
Semplifica il lato sinistro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.4.5.1.2.1
Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.
Passaggio 6.4.5.1.2.2
Dividi per .
Passaggio 6.4.5.1.3
Semplifica il lato destro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.4.5.1.3.1
Dividi per .
Passaggio 6.4.5.2
Trova l'intersezione di e .
Nessuna soluzione
Nessuna soluzione
Passaggio 6.4.6
Trova l'unione delle soluzioni.
Passaggio 7
Punti critici da calcolare.
Passaggio 8
Calcola la derivata seconda per . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.
Passaggio 9
Calcola la derivata seconda.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.1
Semplifica il numeratore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.1.1
Riscrivi come .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.1.1.1
Usa per riscrivere come .
Passaggio 9.1.1.2
Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 9.1.1.3
e .
Passaggio 9.1.1.4
Elimina il fattore comune di e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.1.1.4.1
Scomponi da .
Passaggio 9.1.1.4.2
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.1.1.4.2.1
Scomponi da .
Passaggio 9.1.1.4.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 9.1.1.4.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 9.1.1.4.2.4
Dividi per .
Passaggio 9.1.2
Usa le regole del logaritmo per togliere dall'esponente.
Passaggio 9.1.3
Il logaritmo naturale di è .
Passaggio 9.1.4
Moltiplica per .
Passaggio 9.1.5
Moltiplica per .
Passaggio 9.1.6
Sottrai da .
Passaggio 9.2
Riscrivi come .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.2.1
Usa per riscrivere come .
Passaggio 9.2.2
Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 9.2.3
e .
Passaggio 9.2.4
Elimina il fattore comune di e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.2.4.1
Scomponi da .
Passaggio 9.2.4.2
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.2.4.2.1
Scomponi da .
Passaggio 9.2.4.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 9.2.4.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 9.2.4.2.4
Dividi per .
Passaggio 10
è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.
è un massimo locale
Passaggio 11
Trova il valore di y quando .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 11.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 11.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 11.2.1
Riscrivi come .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 11.2.1.1
Usa per riscrivere come .
Passaggio 11.2.1.2
Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 11.2.1.3
e .
Passaggio 11.2.1.4
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 11.2.1.4.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 11.2.1.4.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 11.2.1.5
Semplifica.
Passaggio 11.2.2
La risposta finale è .
Passaggio 12
Questi sono gli estremi locali per .
è un massimo locale
Passaggio 13