Calcolo Esempi

$g (x) = x^{3} e^{- x}$ , $- 1 \leq x \leq 4$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = e^{- x}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$x^{3} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{3} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.1.1.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$x^{3} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.1.1.3.3.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$x^{3} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.1.1.3.3.3

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.1.1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2})$

Passaggio 1.1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1

Riordina i termini.

$- e^{- x} x^{3} + 3 e^{- x} x^{2}$

Passaggio 1.1.1.4.2

Riordina i fattori in $- e^{- x} x^{3} + 3 e^{- x} x^{2}$ .

$f' (x) = - x^{3} e^{- x} + 3 x^{2} e^{- x}$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $g (x)$ rispetto a $x$ è $- x^{3} e^{- x} + 3 x^{2} e^{- x}$ .

$- x^{3} e^{- x} + 3 x^{2} e^{- x}$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- x^{3} e^{- x} + 3 x^{2} e^{- x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- x^{3} e^{- x} + 3 x^{2} e^{- x} = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $x^{2} e^{- x}$ da $- x^{3} e^{- x} + 3 x^{2} e^{- x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $x^{2} e^{- x}$ da $- x^{3} e^{- x}$ .

$x^{2} e^{- x} (- x) + 3 x^{2} e^{- x} = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Scomponi $x^{2} e^{- x}$ da $3 x^{2} e^{- x}$ .

$x^{2} e^{- x} (- x) + x^{2} e^{- x} (3) = 0$

Passaggio 1.2.2.3

Scomponi $x^{2} e^{- x}$ da $x^{2} e^{- x} (- x) + x^{2} e^{- x} (3)$ .

$x^{2} e^{- x} (- x + 3) = 0$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$e^{- x} = 0$

$- x + 3 = 0$

Passaggio 1.2.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 1.2.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 1.2.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 1.2.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.2.5

Imposta $e^{- x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta $e^{- x}$ uguale a $0$ .

$e^{- x} = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Risolvi $e^{- x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Passaggio 1.2.5.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 1.2.5.2.3

Non c'è soluzione per $e^{- x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 1.2.6

Imposta $- x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Imposta $- x + 3$ uguale a $0$ .

$- x + 3 = 0$

Passaggio 1.2.6.2

Risolvi $- x + 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 3$

Passaggio 1.2.6.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 3$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 1.2.6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 1.2.6.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 1.2.6.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.2.3.1

Dividi $- 3$ per $- 1$ .

$x = 3$

Passaggio 1.2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x^{2} e^{- x} (- x + 3) = 0$ vera.

$x = 0, 3$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $x^{3} e^{- x}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

${(0)}^{3} e^{- (0)}$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 e^{- (0)}$

Passaggio 1.4.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$0 e^{0}$

Passaggio 1.4.1.2.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 \cdot 1$

Passaggio 1.4.1.2.4

Moltiplica $0$ per $1$ .

$0$

Passaggio 1.4.2

Calcola per $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci $3$ a $x$ .

${(3)}^{3} e^{- (3)}$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 e^{- (3)}$

Passaggio 1.4.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$27 e^{- 3}$

Passaggio 1.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$27 \frac{1}{e^{3}}$

Passaggio 1.4.2.2.4

$27$ e $\frac{1}{e^{3}}$ .

$\frac{27}{e^{3}}$

Passaggio 1.4.3

Elenca tutti i punti.

$(0, 0), (3, \frac{27}{e^{3}})$

Passaggio 2

Calcola agli estremi inclusi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola per $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci $- 1$ a $x$ .

${(- 1)}^{3} e^{- (- 1)}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- 1 e^{- (- 1)}$

Passaggio 2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- 1 e^{1}$

Passaggio 2.1.2.3

Semplifica.

$- 1 e$

Passaggio 2.1.2.4

Riscrivi $- 1 e$ come $- e$ .

$- e$

Passaggio 2.2

Calcola per $x = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sostituisci $4$ a $x$ .

${(4)}^{3} e^{- (4)}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$64 e^{- (4)}$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$64 e^{- 4}$

Passaggio 2.2.2.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$64 \frac{1}{e^{4}}$

Passaggio 2.2.2.4

$64$ e $\frac{1}{e^{4}}$ .

$\frac{64}{e^{4}}$

Passaggio 2.3

Elenca tutti i punti.

$(- 1, - e), (4, \frac{64}{e^{4}})$

Passaggio 3

Confronta i valori $g (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $g (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $g (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(3, \frac{27}{e^{3}})$

Minimo assoluto: $(- 1, - e)$

Passaggio 4