Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{4 x}{x^{2} + 1}$ on $- 4$ , $0$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4 x}{x^{2} + 1}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

$4 \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2

Moltiplica $x^{2} + 1$ per $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.7

Somma $1$ e $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.8

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$4 \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.9

$4$ e $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.10.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.10.2.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.10.2.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$- 4 x^{2} + 4 = 0$

Passaggio 1.2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 x^{2} = - 4$

Passaggio 1.2.3.2

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 x^{2} = - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 x^{2} = - 4$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Passaggio 1.2.3.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 4}$

Passaggio 1.2.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.3.1

Dividi $- 4$ per $- 4$ .

$x^{2} = 1$

Passaggio 1.2.3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 1.2.3.4

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm 1$

Passaggio 1.2.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 1$

Passaggio 1.2.3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 1$

Passaggio 1.2.3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - 1$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $\frac{4 x}{x^{2} + 1}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

$\frac{4 (1)}{{(1)}^{2} + 1}$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{4}{1^{2} + 1}$

Passaggio 1.4.1.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{4}{1 + 1}$

Passaggio 1.4.1.2.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{4}{2}$

Passaggio 1.4.1.2.3

Dividi $4$ per $2$ .

$2$

Passaggio 1.4.2

Calcola per $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci $- 1$ a $x$ .

$\frac{4 (- 1)}{{(- 1)}^{2} + 1}$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{- 4}{{(- 1)}^{2} + 1}$

Passaggio 1.4.2.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- 4}{1 + 1}$

Passaggio 1.4.2.2.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- 4}{2}$

Passaggio 1.4.2.2.3

Dividi $- 4$ per $2$ .

$- 2$

Passaggio 1.4.3

Elenca tutti i punti.

$(1, 2), (- 1, - 2)$

Passaggio 2

Escludi i punti che non si trovano sull'intervallo.

$(- 1, - 2)$

Passaggio 3

Calcola agli estremi inclusi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola per $x = - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci $- 4$ a $x$ .

$\frac{4 (- 4)}{{(- 4)}^{2} + 1}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Moltiplica $4$ per $- 4$ .

$\frac{- 16}{{(- 4)}^{2} + 1}$

Passaggio 3.1.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- 16}{16 + 1}$

Passaggio 3.1.2.2.2

Somma $16$ e $1$ .

$\frac{- 16}{17}$

Passaggio 3.1.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{16}{17}$

Passaggio 3.2

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$\frac{4 (0)}{{(0)}^{2} + 1}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Moltiplica $4$ per $0$ .

$\frac{0}{0^{2} + 1}$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{0 + 1}$

Passaggio 3.2.2.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{0}{1}$

Passaggio 3.2.2.3

Dividi $0$ per $1$ .

$0$

Passaggio 3.3

Elenca tutti i punti.

$(- 4, - \frac{16}{17}), (0, 0)$

Passaggio 4

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(0, 0)$

Minimo assoluto: $(- 1, - 2)$

Passaggio 5