Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $x^{2} + 1$ per $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.7

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.6

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.7

Somma $- 2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.4.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.4.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.4.5.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) (2 \cdot ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.4.5.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{- 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.2

Riscrivi ${(x^{2} + 1)}^{2}$ come $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.3

Espandi $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.4.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.4.1.1.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.4.1.1.2

Somma $2$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.4.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.4.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.4.1.4

Moltiplica $1$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.4.2

Somma $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.6.1

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.6.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.7

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{4} x - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.8.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.8.1.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.8.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.8.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.8.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 4} - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.8.1.3

Somma $1$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.8.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.8.2.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.8.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.8.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.8.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{1 + 2} - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.8.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.9.1

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.9.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.10

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.10.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.10.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.10.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.10.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{2 + 1} + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.10.1.2

Somma $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{3} + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.10.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.11

Espandi $(4 x^{2} - 4) (x^{3} + x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} (x^{3} + x) - 4 (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.11.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} x - 4 (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.11.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.12.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.12.1.1.1

Sposta $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.1.1.3

Somma $3$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.12.1.2.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.12.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 x^{1 + 2} - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.1.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 x^{3} - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.2

Sottrai $4 x^{3}$ da $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 0 - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.3

Somma $4 x^{5}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.2

Somma $- 2 x^{5}$ e $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.3

Sottrai $4 x$ da $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} - 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Scomponi $2 x$ da $2 x^{5} - 4 x^{3} - 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1.1

Scomponi $2 x$ da $2 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) - 4 x^{3} - 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.1.2

Scomponi $2 x$ da $- 4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2}) - 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.1.3

Scomponi $2 x$ da $- 6 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2}) + 2 x (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.1.4

Scomponi $2 x$ da $2 x (x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 2 x (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.1.5

Scomponi $2 x$ da $2 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 2 x (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.2

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.3

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (u^{2} - 2 u - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.4

Scomponi $u^{2} - 2 u - 3$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 3$ e la cui somma è $- 2$ .

$- 3, 1$

Passaggio 2.5.4.4.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$f'' (x) = \frac{2 x ((u - 3) (u + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.5

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 1$ e ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.1

Scomponi $x^{2} + 1$ da $2 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.2.1

Scomponi $x^{2} + 1$ da ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.5.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.5.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $x^{2} + 1$ per $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.7

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$- x^{2} + 1 = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{2} = - 1$

Passaggio 5.3.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Passaggio 5.3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 5.3.4

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm 1$

Passaggio 5.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 1$

Passaggio 5.3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 1$

Passaggio 5.3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - 1$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 1, - 1$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{2 (1) ({(1)}^{2} - 3)}{{({(1)}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 (1^{2} - 3)}{{(1^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{2 (1^{2} - 3)}{{(1 + 1)}^{3}}$

Passaggio 9.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 (1^{2} - 3)}{2^{3}}$

Passaggio 9.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{2 (1^{2} - 3)}{8}$

Passaggio 9.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{2 (1 - 3)}{8}$

Passaggio 9.3.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{8}$

Passaggio 9.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{- 4}{8}$

Passaggio 9.4.2

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.2.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$\frac{4 (- 1)}{8}$

Passaggio 9.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.2.2.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

Passaggio 9.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

Passaggio 9.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{2}$

Passaggio 9.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 10

$x = 1$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = \frac{1}{{(1)}^{2} + 1}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = \frac{1}{1 + 1}$

Passaggio 11.2.1.2

Somma $1$ e $1$ .

$f (1) = \frac{1}{2}$

Passaggio 11.2.2

La risposta finale è $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = - 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{2 (- 1) ({(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 13.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{(1 + 1)}^{3}}$

Passaggio 13.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{2^{3}}$

Passaggio 13.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{8}$

Passaggio 13.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- 2 (1 - 3)}{8}$

Passaggio 13.3.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{- 2 \cdot - 2}{8}$

Passaggio 13.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.1

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$\frac{4}{8}$

Passaggio 13.4.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{4 (1)}{8}$

Passaggio 13.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.2.2.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Passaggio 13.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Passaggio 13.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2}$

Passaggio 14

$x = - 1$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 1$ è un minimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = \frac{- 1}{{(- 1)}^{2} + 1}$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1) = \frac{- 1}{1 + 1}$

Passaggio 15.2.1.2

Somma $1$ e $1$ .

$f (- 1) = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 15.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- 1) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $- \frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{1}{2}$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ .

$(1, \frac{1}{2})$ è un massimo locale

$(- 1, - \frac{1}{2})$ è un minimo locale

Passaggio 17