Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{x - 1} + 4$ ; $1 \leq x \leq 2$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sqrt{x - 1} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sqrt{x - 1}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\sqrt{x - 1}) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 1.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\sqrt{x - 1}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x - 1}$ come ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x - 1) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 1.1.1.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 1.1.1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 1.1.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 1.1.1.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} (- 1))) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 1.1.1.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 1.1.1.2.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 1.1.1.2.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 1.1.1.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 1.1.1.2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 1.1.1.2.9.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 1.1.1.2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot ({(x - 1)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 1.1.1.2.11

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 1.1.1.2.12

$\frac{1}{2}$ e ${(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 1.1.1.2.13

Moltiplica $\frac{{(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 1.1.1.2.14

Sposta ${(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 1.1.1.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + 0$

Passaggio 1.1.1.3.2

Somma $\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$1 = 0$

Passaggio 1.2.3

Poiché $1 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{1}{2 \sqrt{{(x - 1)}^{1}}}$

Passaggio 1.3.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{1}{2 \sqrt{x - 1}}$

Passaggio 1.3.2

Imposta il denominatore in $\frac{1}{2 \sqrt{x - 1}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$2 \sqrt{x - 1} = 0$

Passaggio 1.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(2 \sqrt{x - 1})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 1.3.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x - 1}$ come ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 1.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.2.1

Semplifica ${(2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 1.3.3.2.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 1.3.3.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.2.1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 1.3.3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$4 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 1.3.3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$4 {(x - 1)}^{1} = 0^{2}$

Passaggio 1.3.3.2.2.1.4

Semplifica.

$4 (x - 1) = 0^{2}$

Passaggio 1.3.3.2.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$4 x + 4 \cdot - 1 = 0^{2}$

Passaggio 1.3.3.2.2.1.6

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$4 x - 4 = 0^{2}$

Passaggio 1.3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$4 x - 4 = 0$

Passaggio 1.3.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = 4$

Passaggio 1.3.3.3.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{4}{4}$

Passaggio 1.3.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{4}{4}$

Passaggio 1.3.3.3.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{4}{4}$

Passaggio 1.3.3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.2.3.1

Dividi $4$ per $4$ .

$x = 1$

Passaggio 1.3.4

Imposta il radicando in $\sqrt{x - 1}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x - 1 < 0$

Passaggio 1.3.5

Aggiungi $1$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$x < 1$

Passaggio 1.3.6

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq 1$

$(- \infty, 1]$

$x \leq 1$

$(- \infty, 1]$

Passaggio 1.4

Risolvi $\sqrt{x - 1} + 4$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $x$ per $1$ .

$\sqrt{(1) - 1} + 4$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$\sqrt{0} + 4$

Passaggio 1.4.1.2.1.2

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}} + 4$

Passaggio 1.4.1.2.1.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$0 + 4$

Passaggio 1.4.1.2.2

Somma $0$ e $4$ .

$4$

Passaggio 1.4.2

Elenca tutti i punti.

$(1, 4)$

Passaggio 2

Calcola agli estremi inclusi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci $x$ per $1$ .

$\sqrt{(1) - 1} + 4$

Passaggio 2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$\sqrt{0} + 4$

Passaggio 2.1.2.1.2

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}} + 4$

Passaggio 2.1.2.1.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$0 + 4$

Passaggio 2.1.2.2

Somma $0$ e $4$ .

$4$

Passaggio 2.2

Calcola per $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sostituisci $x$ per $2$ .

$\sqrt{(2) - 1} + 4$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Sottrai $1$ da $2$ .

$\sqrt{1} + 4$

Passaggio 2.2.2.1.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$1 + 4$

Passaggio 2.2.2.2

Somma $1$ e $4$ .

$5$

Passaggio 2.3

Elenca tutti i punti.

$(1, 4), (2, 5)$

Passaggio 3

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(2, 5)$

Minimo assoluto: $(1, 4)$

Passaggio 4