Calcolo Esempi

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ at $(3, 2)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 3$ e $y = 2$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia.

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Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 3 x^{2} + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 x^{2} - 6 x + 0$

Passaggio 1.3.2

Somma $3 x^{2} - 6 x$ e $0$ .

$3 x^{2} - 6 x$

Passaggio 1.4

Calcola la derivata per $x = 3$ .

$3 {(3)}^{2} - 6 \cdot 3$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.5.1.1

Moltiplica $3$ per ${(3)}^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.5.1.1.1

Moltiplica $3$ per ${(3)}^{2}$ .

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Passaggio 1.5.1.1.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$3^{1} {(3)}^{2} - 6 \cdot 3$

Passaggio 1.5.1.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3^{1 + 2} - 6 \cdot 3$

Passaggio 1.5.1.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$3^{3} - 6 \cdot 3$

Passaggio 1.5.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 - 6 \cdot 3$

Passaggio 1.5.1.3

Moltiplica $- 6$ per $3$ .

$27 - 18$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $18$ da $27$ .

$9$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $9$ e un punto dato $(3, 2)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = 9 \cdot (x - (3))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 2 = 9 \cdot (x - 3)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $9 \cdot (x - 3)$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 2 = 0 + 0 + 9 \cdot (x - 3)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 2 = 9 \cdot (x - 3)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 2 = 9 x + 9 \cdot - 3$

Passaggio 2.3.1.4

Moltiplica $9$ per $- 3$ .

$y - 2 = 9 x - 27$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 9 x - 27 + 2$

Passaggio 2.3.2.2

Somma $- 27$ e $2$ .

$y = 9 x - 25$

Passaggio 3