Calcolo Esempi

$y = \frac{6 x}{1 + 11 x^{2}}$ , $(1, \frac{1}{2})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 1$ e $y = \frac{1}{2}$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{6 x}{1 + 11 x^{2}}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 11 x^{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 11 x^{2}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 1 + 11 x^{2}$ .

$6 \frac{(1 + 11 x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + 11 x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 \frac{(1 + 11 x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + 11 x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $1 + 11 x^{2}$ per $1$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + 11 x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + 11 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [11 x^{2}]$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [11 x^{2}])}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [11 x^{2}])}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [11 x^{2}]$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x \frac{d}{d x} [11 x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3.6

Poiché $11$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $11 x^{2}$ rispetto a $x$ è $11 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x (11 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $11$ per $- 1$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 11 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 11 x (2 x)}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3.9

Moltiplica $2$ per $- 11$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 x \cdot x}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 (x^{1} x)}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 (x^{1} x^{1})}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 x^{1 + 1}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.7

Somma $1$ e $1$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 x^{2}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.8

Sottrai $22 x^{2}$ da $11 x^{2}$ .

$6 \frac{1 - 11 x^{2}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.9

$6$ e $\frac{1 - 11 x^{2}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{6 (1 - 11 x^{2})}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{6 \cdot 1 + 6 (- 11 x^{2})}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.10.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.2.1

Moltiplica $6$ per $1$ .

$\frac{6 + 6 (- 11 x^{2})}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.10.2.2

Moltiplica $- 11$ per $6$ .

$\frac{6 - 66 x^{2}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.10.3

Riordina i termini.

$\frac{- 66 x^{2} + 6}{{(11 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.11

Calcola la derivata per $x = 1$ .

$\frac{- 66 {(1)}^{2} + 6}{{(11 {(1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{- 66 \cdot 1 + 6}{{(11 \cdot 1^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.12.1.2

Moltiplica $- 66$ per $1$ .

$\frac{- 66 + 6}{{(11 \cdot 1^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.12.1.3

Somma $- 66$ e $6$ .

$\frac{- 60}{{(11 \cdot 1^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.12.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{- 60}{{(11 \cdot 1 + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.12.2.2

Moltiplica $11$ per $1$ .

$\frac{- 60}{{(11 + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.12.2.3

Somma $11$ e $1$ .

$\frac{- 60}{12^{2}}$

Passaggio 1.12.2.4

Eleva $12$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- 60}{144}$

Passaggio 1.12.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.3.1

Elimina il fattore comune di $- 60$ e $144$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.3.1.1

Scomponi $12$ da $- 60$ .

$\frac{12 (- 5)}{144}$

Passaggio 1.12.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.3.1.2.1

Scomponi $12$ da $144$ .

$\frac{12 \cdot - 5}{12 \cdot 12}$

Passaggio 1.12.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{12 \cdot - 5}{12 \cdot 12}$

Passaggio 1.12.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 5}{12}$

Passaggio 1.12.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{5}{12}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- \frac{5}{12}$ e un punto dato $(1, \frac{1}{2})$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{2}) = - \frac{5}{12} \cdot (x - (1))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{5}{12} \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica $- \frac{5}{12} \cdot (x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - \frac{1}{2} = 0 + 0 - \frac{5}{12} \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{5}{12} \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{5}{12} x - \frac{5}{12} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.4

$x$ e $\frac{5}{12}$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 5}{12} - \frac{5}{12} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.5

Moltiplica $- \frac{5}{12} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 5}{12} + 1 (\frac{5}{12})$

Passaggio 2.3.1.5.2

Moltiplica $\frac{5}{12}$ per $1$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{5}{12}$

Passaggio 2.3.1.6

Sposta $5$ alla sinistra di $x$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12}$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Somma $\frac{1}{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} + \frac{1}{2}$

Passaggio 2.3.2.2

Per scrivere $\frac{1}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} + \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{6}$

Passaggio 2.3.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $12$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{6}{6}$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} + \frac{6}{2 \cdot 6}$

Passaggio 2.3.2.3.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} + \frac{6}{12}$

Passaggio 2.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5 + 6}{12}$

Passaggio 2.3.2.5

Somma $5$ e $6$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{11}{12}$

Passaggio 2.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riordina i termini.

$y = - (\frac{5}{12} x) + \frac{11}{12}$

Passaggio 2.3.3.2

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{5}{12} x + \frac{11}{12}$

Passaggio 3