Calcolo Esempi

$x^{3} + y^{3} = 34 x y$ ; $(17, 17)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 17$ e $y = 17$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (34 x y)$

Passaggio 1.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + y^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 1.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 1.2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 1.2.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 1.2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 1.2.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Passaggio 1.3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 1.3.1

Poiché $34$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $34 x y$ rispetto a $x$ è $34 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$34 \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$34 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$34 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$34 (x y' + y \cdot 1)$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$34 (x y' + y)$

Passaggio 1.3.6

Applica la proprietà distributiva.

$34 x y' + 34 y$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 34 x y' + 34 y$

Passaggio 1.5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 1.5.1

Sottrai $34 x y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 34 x y' = 34 y$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $3 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 y^{2} y' - 34 x y' = 34 y - 3 x^{2}$

Passaggio 1.5.3

Scomponi $y'$ da $3 y^{2} y' - 34 x y'$ .

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Passaggio 1.5.3.1

Scomponi $y'$ da $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) - 34 x y' = 34 y - 3 x^{2}$

Passaggio 1.5.3.2

Scomponi $y'$ da $- 34 x y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (- 34 x) = 34 y - 3 x^{2}$

Passaggio 1.5.3.3

Scomponi $y'$ da $y' (3 y^{2}) + y' (- 34 x)$ .

$y' (3 y^{2} - 34 x) = 34 y - 3 x^{2}$

Passaggio 1.5.4

Dividi per $3 y^{2} - 34 x$ ciascun termine in $y' (3 y^{2} - 34 x) = 34 y - 3 x^{2}$ e semplifica.

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Passaggio 1.5.4.1

Dividi per $3 y^{2} - 34 x$ ciascun termine in $y' (3 y^{2} - 34 x) = 34 y - 3 x^{2}$ .

$\frac{y' (3 y^{2} - 34 x)}{3 y^{2} - 34 x} = \frac{34 y}{3 y^{2} - 34 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 34 x}$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $3 y^{2} - 34 x$ .

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Passaggio 1.5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (3 y^{2} - 34 x)}{3 y^{2} - 34 x} = \frac{34 y}{3 y^{2} - 34 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 34 x}$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{34 y}{3 y^{2} - 34 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 34 x}$

Passaggio 1.5.4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.5.4.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{34 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 34 x}$

Passaggio 1.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{34 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 34 x}$

Passaggio 1.7

Calcola con $x = 17$ e $y = 17$ .

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Passaggio 1.7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $17$ nell'espressione.

$\frac{34 y - 3 {(17)}^{2}}{3 y^{2} - 34 \cdot 17}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci la variabile $y$ con $17$ nell'espressione.

$\frac{34 (17) - 3 {(17)}^{2}}{3 {(17)}^{2} - 34 \cdot 17}$

Passaggio 1.7.3

Elimina il fattore comune di $34 (17) - 3 {(17)}^{2}$ e $3 {(17)}^{2} - 34 \cdot 17$ .

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Passaggio 1.7.3.1

Riordina i termini.

$\frac{- 3 {(17)}^{2} + 17 \cdot 34}{3 {(17)}^{2} - 34 \cdot 17}$

Passaggio 1.7.3.2

Scomponi $17$ da $- 3 {(17)}^{2}$ .

$\frac{17 (- 3 \cdot 17) + 17 \cdot 34}{3 {(17)}^{2} - 34 \cdot 17}$

Passaggio 1.7.3.3

Scomponi $17$ da $17 \cdot 34$ .

$\frac{17 (- 3 \cdot 17) + 17 (34)}{3 {(17)}^{2} - 34 \cdot 17}$

Passaggio 1.7.3.4

Scomponi $17$ da $17 (- 3 \cdot 17) + 17 (34)$ .

$\frac{17 (- 3 \cdot 17 + 34)}{3 {(17)}^{2} - 34 \cdot 17}$

Passaggio 1.7.3.5

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.7.3.5.1

Scomponi $17$ da $3 {(17)}^{2}$ .

$\frac{17 (- 3 \cdot 17 + 34)}{17 (3 \cdot 17) - 34 \cdot 17}$

Passaggio 1.7.3.5.2

Scomponi $17$ da $- 34 \cdot 17$ .

$\frac{17 (- 3 \cdot 17 + 34)}{17 (3 \cdot 17) + 17 (- 2 \cdot 17)}$

Passaggio 1.7.3.5.3

Scomponi $17$ da $17 (3 \cdot 17) + 17 (- 2 \cdot 17)$ .

$\frac{17 (- 3 \cdot 17 + 34)}{17 (3 \cdot 17 - 2 \cdot 17)}$

Passaggio 1.7.3.5.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{17 (- 3 \cdot 17 + 34)}{17 (3 \cdot 17 - 2 \cdot 17)}$

Passaggio 1.7.3.5.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 3 \cdot 17 + 34}{3 \cdot 17 - 2 \cdot 17}$

Passaggio 1.7.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1

Moltiplica $- 3$ per $17$ .

$\frac{- 51 + 34}{3 \cdot 17 - 2 \cdot 17}$

Passaggio 1.7.4.2

Somma $- 51$ e $34$ .

$\frac{- 17}{3 \cdot 17 - 2 \cdot 17}$

Passaggio 1.7.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.5.1

Moltiplica $3$ per $17$ .

$\frac{- 17}{51 - 2 \cdot 17}$

Passaggio 1.7.5.2

Moltiplica $- 2$ per $17$ .

$\frac{- 17}{51 - 34}$

Passaggio 1.7.5.3

Sottrai $34$ da $51$ .

$\frac{- 17}{17}$

Passaggio 1.7.6

Dividi $- 17$ per $17$ .

$- 1$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- 1$ e un punto dato $(17, 17)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (17) = - 1 \cdot (x - (17))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 17 = - 1 \cdot (x - 17)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $- 1 \cdot (x - 17)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 17 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 17)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 17 = - 1 \cdot (x - 17)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 17 = - 1 x - 1 \cdot - 17$

Passaggio 2.3.1.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.3.1.4.1

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$y - 17 = - x - 1 \cdot - 17$

Passaggio 2.3.1.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 17$ .

$y - 17 = - x + 17$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Somma $17$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - x + 17 + 17$

Passaggio 2.3.2.2

Somma $17$ e $17$ .

$y = - x + 34$

Passaggio 3