Calcolo Esempi

$y = - \frac{1}{x^{3}}$ , $(- 1, 1)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = - 1$ e $y = 1$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{3}}$ come ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Passaggio 1.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.2.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 3$ .

$- (- 3 x^{- 4}) + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$3 x^{- 4} + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 x^{- 4} + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Passaggio 1.2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.2.6.1

Moltiplica $\frac{1}{x^{3}}$ per $0$ .

$3 x^{- 4} + 0$

Passaggio 1.2.6.2

Somma $3 x^{- 4}$ e $0$ .

$3 x^{- 4}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 \frac{1}{x^{4}}$

Passaggio 1.3.2

$3$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{3}{x^{4}}$

Passaggio 1.4

Calcola la derivata per $x = - 1$ .

$\frac{3}{{(- 1)}^{4}}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$\frac{3}{1}$

Passaggio 1.5.2

Dividi $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $3$ e un punto dato $(- 1, 1)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 3 \cdot (x - (- 1))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 1 = 3 \cdot (x + 1)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $3 \cdot (x + 1)$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 1 = 0 + 0 + 3 \cdot (x + 1)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 1 = 3 \cdot (x + 1)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 1 = 3 x + 3 \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$y - 1 = 3 x + 3$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 3 x + 3 + 1$

Passaggio 2.3.2.2

Somma $3$ e $1$ .

$y = 3 x + 4$

Passaggio 3