Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{2} x \ln (x^{4})$ , $(- 1, 0)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = - 1$ e $y = 0$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

$x$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2} \cdot \ln (x^{4})]$

Passaggio 1.1.2

$\frac{x}{2}$ e $\ln (x^{4})$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x^{4})}{2}]$

Passaggio 1.1.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x \ln (x^{4})}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x^{4})$ .

$\frac{1}{2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{4}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{4}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

$\frac{1}{x^{4}}$ e $x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{1}}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.2.3

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.3.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{x^{3}} (4 x^{3}) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.1

$4$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4}{x^{3}} x^{3} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.4.2

$\frac{4}{x^{3}}$ e $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.4.3

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} (\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.4.3.2

Dividi $4$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (4 + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (4 + \ln (x^{4}) \cdot 1)$

Passaggio 1.4.6

Moltiplica $\ln (x^{4})$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (4 + \ln (x^{4}))$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} \cdot 4 + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

Passaggio 1.5.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$\frac{4}{2} + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

Passaggio 1.5.2.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

Passaggio 1.5.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

Passaggio 1.5.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

Passaggio 1.5.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{1} + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

Passaggio 1.5.2.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$2 + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

Passaggio 1.5.3

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} \ln (x^{4}) + 2$

Passaggio 1.5.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

$\frac{1}{2}$ e $\ln (x^{4})$ .

$\frac{\ln (x^{4})}{2} + 2$

Passaggio 1.5.4.2

Espandi $\ln (x^{4})$ spostando $4$ fuori dal logaritmo.

$\frac{4 \ln (x)}{2} + 2$

Passaggio 1.5.4.3

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.3.1

Scomponi $2$ da $4 \ln (x)$ .

$\frac{2 (2 \ln (x))}{2} + 2$

Passaggio 1.5.4.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (2 \ln (x))}{2 (1)} + 2$

Passaggio 1.5.4.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (2 \ln (x))}{2 \cdot 1} + 2$

Passaggio 1.5.4.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 \ln (x)}{1} + 2$

Passaggio 1.5.4.3.2.4

Dividi $2 \ln (x)$ per $1$ .

$2 \ln (x) + 2$

Passaggio 1.6

Calcola la derivata per $x = - 1$ .

$2 \ln (- 1) + 2$

Passaggio 1.7

Il logaritmo naturale di un numero negativo è indefinito.

Indefinito

Passaggio 2

Il coefficiente angolare della retta è indefinito; ciò significa che è perpendicolare rispetto all'asse x con $x = - 1$ .

$x = - 1$

Passaggio 3