Calcolo Esempi

${(x - y - 1)}^{3} = x$ ; $(1, - 1)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 1$ e $y = - 1$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} ({(x - y - 1)}^{3}) = \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x - y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - y - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - y - 1]$

Passaggio 1.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - y - 1]$

Passaggio 1.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - y - 1$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - y - 1]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - y - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 1.2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} (1 - \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} (1 - y' + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 1.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} (1 - y' + 0)$

Passaggio 1.2.5

Somma $1 - y'$ e $0$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} (1 - y')$

Passaggio 1.2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 {(x - y - 1)}^{2} \cdot 1 + 3 {(x - y - 1)}^{2} (- y')$

Passaggio 1.2.6.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} + 3 {(x - y - 1)}^{2} (- y')$

Passaggio 1.2.6.2.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} - 3 {(x - y - 1)}^{2} y'$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$3 {(x - y - 1)}^{2} - 3 {(x - y - 1)}^{2} y' = 1$

Passaggio 1.5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Riordina i fattori in $3 {(x - y - 1)}^{2} - 3 {(x - y - 1)}^{2} y'$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} - 3 y' {(x - y - 1)}^{2} = 1$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $3 {(x - y - 1)}^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 y' {(x - y - 1)}^{2} = 1 - 3 {(x - y - 1)}^{2}$

Passaggio 1.5.3

Dividi per $- 3 {(x - y - 1)}^{2}$ ciascun termine in $- 3 y' {(x - y - 1)}^{2} = 1 - 3 {(x - y - 1)}^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Dividi per $- 3 {(x - y - 1)}^{2}$ ciascun termine in $- 3 y' {(x - y - 1)}^{2} = 1 - 3 {(x - y - 1)}^{2}$ .

$\frac{- 3 y' {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 y' {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' {(x - y - 1)}^{2}}{{(x - y - 1)}^{2}} = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.5.3.2.2

Elimina il fattore comune di ${(x - y - 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' {(x - y - 1)}^{2}}{{(x - y - 1)}^{2}} = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.1

Per scrivere $\frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y' = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.5.3.3.2

Per scrivere $\frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y' = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 1.5.3.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $3 {(x - y - 1)}^{2}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.3.1

Moltiplica $\frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$ per $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y' = \frac{- 1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2} \cdot - 1} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 1.5.3.3.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$y' = \frac{- 1}{3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 1.5.3.3.3.3

Moltiplica $\frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$ per $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y' = \frac{- 1}{3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2} \cdot - 1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2} \cdot - 1}$

Passaggio 1.5.3.3.3.4

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$y' = \frac{- 1}{3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2} \cdot - 1}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.5.3.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 1 - 3 {(x - y - 1)}^{2} \cdot - 1}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.5.3.3.5

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$y' = \frac{- 1 + 3 {(x - y - 1)}^{2}}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.5.3.3.6

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{- 1 (1) + 3 {(x - y - 1)}^{2}}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.5.3.3.7

Scomponi $- 1$ da $3 {(x - y - 1)}^{2}$ .

$y' = \frac{- 1 (1) - (- 3 {(x - y - 1)}^{2})}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.5.3.3.8

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (- 3 {(x - y - 1)}^{2})$ .

$y' = \frac{- 1 (1 - 3 {(x - y - 1)}^{2})}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.5.3.3.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{1 - 3 {(x - y - 1)}^{2}}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 - 3 {(x - y - 1)}^{2}}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.7

Calcola con $x = 1$ e $y = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$- \frac{1 - 3 {((1) - y - 1)}^{2}}{3 {((1) - y - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci la variabile $y$ con $- 1$ nell'espressione.

$- \frac{1 - 3 {((1) - (- 1) - 1)}^{2}}{3 {((1) - (- 1) - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.7.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{1 - 3 {(1 + 1 - 1)}^{2}}{3 {(1 - (- 1) - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.7.3.2

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{1 - 3 {(2 - 1)}^{2}}{3 {(1 - (- 1) - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.7.3.3

Sottrai $1$ da $2$ .

$- \frac{1 - 3 \cdot 1^{2}}{3 {(1 - (- 1) - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.7.3.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{1 - 3 \cdot 1}{3 {(1 - (- 1) - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.7.3.5

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$- \frac{1 - 3}{3 {(1 - (- 1) - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.7.3.6

Sottrai $3$ da $1$ .

$- \frac{- 2}{3 {(1 - (- 1) - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.7.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{- 2}{3 {(1 + 1 - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.7.4.2

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{- 2}{3 {(2 - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.7.4.3

Sottrai $1$ da $2$ .

$- \frac{- 2}{3 \cdot 1^{2}}$

Passaggio 1.7.4.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{- 2}{3 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.5.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- \frac{- 2}{3}$

Passaggio 1.7.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{2}{3}$

Passaggio 1.7.6

Moltiplica $- - \frac{2}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{2}{3})$

Passaggio 1.7.6.2

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $1$ .

$\frac{2}{3}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $\frac{2}{3}$ e un punto dato $(1, - 1)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 1) = \frac{2}{3} \cdot (x - (1))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y + 1 = \frac{2}{3} \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica $\frac{2}{3} \cdot (x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y + 1 = 0 + 0 + \frac{2}{3} \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y + 1 = \frac{2}{3} \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y + 1 = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.4

$\frac{2}{3}$ e $x$ .

$y + 1 = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.5

Moltiplica $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.5.1

$\frac{2}{3}$ e $- 1$ .

$y + 1 = \frac{2 x}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{3}$

Passaggio 2.3.1.5.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y + 1 = \frac{2 x}{3} + \frac{- 2}{3}$

Passaggio 2.3.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y + 1 = \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3}$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3} - 1$

Passaggio 2.3.2.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 2.3.2.3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Passaggio 2.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}$

Passaggio 2.3.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 2 - 3}{3}$

Passaggio 2.3.2.5.2

Sottrai $3$ da $- 2$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 5}{3}$

Passaggio 2.3.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{5}{3}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i termini.

$y = \frac{2}{3} x - \frac{5}{3}$

Passaggio 3