Calcolo Esempi

$y = \frac{x^{2}}{7 + x}$ , $(1, \frac{1}{8})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 1$ e $y = \frac{1}{8}$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 7 + x$ .

$\frac{(7 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [7 + x]}{{(7 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(7 + x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [7 + x]}{{(7 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $7 + x$ .

$\frac{2 \cdot (7 + x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [7 + x]}{{(7 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (7 + x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [x])}{{(7 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (7 + x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(7 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (7 + x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(7 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 (7 + x) x - x^{2} \cdot 1}{{(7 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 (7 + x) x - x^{2}}{{(7 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 \cdot 7 + 2 x) x - x^{2}}{{(7 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \cdot 7 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(7 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1

Moltiplica $2$ per $7$ .

$\frac{14 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(7 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{14 x + 2 (x \cdot x) - x^{2}}{{(7 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{14 x + 2 x^{2} - x^{2}}{{(7 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.2

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{14 x + x^{2}}{{(7 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4

Riordina i termini.

$\frac{x^{2} + 14 x}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5

Scomponi $x$ da $x^{2} + 14 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x + 14 x}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.2

Scomponi $x$ da $14 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot 14}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot 14$ .

$\frac{x (x + 14)}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 1.4

Calcola la derivata per $x = 1$ .

$\frac{(1) ((1) + 14)}{{((1) + 7)}^{2}}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Moltiplica $1 + 14$ per $1$ .

$\frac{1 + 14}{{(1 + 7)}^{2}}$

Passaggio 1.5.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Somma $1$ e $7$ .

$\frac{1 + 14}{8^{2}}$

Passaggio 1.5.2.2

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1 + 14}{64}$

Passaggio 1.5.3

Somma $1$ e $14$ .

$\frac{15}{64}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $\frac{15}{64}$ e un punto dato $(1, \frac{1}{8})$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{8}) = \frac{15}{64} \cdot (x - (1))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - \frac{1}{8} = \frac{15}{64} \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $\frac{15}{64} \cdot (x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - \frac{1}{8} = 0 + 0 + \frac{15}{64} \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - \frac{1}{8} = \frac{15}{64} \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - \frac{1}{8} = \frac{15}{64} x + \frac{15}{64} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.4

$\frac{15}{64}$ e $x$ .

$y - \frac{1}{8} = \frac{15 x}{64} + \frac{15}{64} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.5

Moltiplica $\frac{15}{64} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.5.1

$\frac{15}{64}$ e $- 1$ .

$y - \frac{1}{8} = \frac{15 x}{64} + \frac{15 \cdot - 1}{64}$

Passaggio 2.3.1.5.2

Moltiplica $15$ per $- 1$ .

$y - \frac{1}{8} = \frac{15 x}{64} + \frac{- 15}{64}$

Passaggio 2.3.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y - \frac{1}{8} = \frac{15 x}{64} - \frac{15}{64}$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Somma $\frac{1}{8}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{15 x}{64} - \frac{15}{64} + \frac{1}{8}$

Passaggio 2.3.2.2

Per scrivere $\frac{1}{8}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{15 x}{64} - \frac{15}{64} + \frac{1}{8} \cdot \frac{8}{8}$

Passaggio 2.3.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $64$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 2.3.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{8}$ per $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{15 x}{64} - \frac{15}{64} + \frac{8}{8 \cdot 8}$

Passaggio 2.3.2.3.2

Moltiplica $8$ per $8$ .

$y = \frac{15 x}{64} - \frac{15}{64} + \frac{8}{64}$

Passaggio 2.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{15 x}{64} + \frac{- 15 + 8}{64}$

Passaggio 2.3.2.5

Somma $- 15$ e $8$ .

$y = \frac{15 x}{64} + \frac{- 7}{64}$

Passaggio 2.3.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{15 x}{64} - \frac{7}{64}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i termini.

$y = \frac{15}{64} x - \frac{7}{64}$

Passaggio 3